ESG 2004 concours

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• Publié par: porthos
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ESG2004 CONCOURS FORMULEÉCONOMIQUE ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES1 Lundi 26 avril 2004 de 14 h à 18 hDurée.4 heuresCoefficient: 3 EXERCICE D'ALGÈBRE (sur 5 points) 3 L’espace vectorielErapporté à la base canonique= estC= (c 1 ;c 2 ;c 3 ) avec R c 1  = (1 ; 0 ; 0) ,c 2  = (0 ; 1 ; 0),c 3  = (0 ; 0 ; 1) . On notéI3 et la matrice unité d'ordreOd'ordre 3. la matrice nulle On considère l’endomorphismeu deEdéfini par : u(c 1 ) = 4c 1 +c 2 +c 3  ;u(c 2 ) =c 1 + 4c 2 +c 3  ;u(c 3 ) =c 1 +c 2 + 4c 3 1°) Déterminerla matriceAassociée àu dans la baseC. 2°) Calculer (A-I)(A-6I) . 3°) On considère les vecteursb 1  =c 1 -c 2  ,b 2  =c 1 -c 3  etb 3  =c 1 +c 2 +c 3 . a) Montrer queB= (b 1 ;b 2 ;b 3 ) estune base deE . b) SoitP la matrice de passage de la baseCà la baseB.Déterminer par la méthode du pivot de Gauss la -1 matriceP c) Déterminer la matriceM deu relativement à la baseB. n nn-1 4°) Pour tout entier naturel non nuln , calculerM , et exprimerA enfonction deM ,PetP . EXERCICE D'ANALYSE (sur 10 points) Pour tout entier naturel non nuln , on note la fonctionf n  définie sur [ 0 ; +¥[ par : n-x n  (x) =. OnnoteC n la courbe représentative deif O r r j. f n  dans un repère orthogonal; ; n! A) Étudier les variations def n sur [0 ; +¥[ .Pourn> 2, étudier la position relative deC n et de C n-1 et vérifier que le point deC n ,A(n;f n (n) )est aussi surC n-1 . B) Étude de la suite(u n ) définie pourn³1 paru n =f n (n) . 1°) Enutilisant les résultats de la partie A), montrer que (u n ) est décroissante. 2 t 2°) Soitgpar :sur [0; 1] la fonction définieg(t) = ln(1+t) –t+ . 4 2 t a) Montrer que pour touttln(l + de [0 ; 1],t)£t- . 4 n 1 1- æ 1 ö 4n b) En déduire que pour tout entiern³11 ,+ £e ç ÷ è n ø 1 u n+1 - 4n 3°) a)Montrer que pour tout entiern³1£e. u n 1 æ 1 1 -1-1+ +...+ ç 4 è 2n-1 b) En déduire que pour tout entiern³2 ,u£e n n dt1 1 4°) a)Montrer que pour tout entiern³2 ;£1+ +...+. ò t2n-1 1

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