ESG 2004 concours

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ESG2004CONCOURS FORMULEÉCONOMIQUE ÉPREUVE DEMATHÉMATIQUES1Lundi 26 avril 2004 de 14 h à 18 hDurée.4 heuresCoefficient: 3 EXERCICE D'ALGÈBRE(sur 5 points)3 L’espace vectorielErapporté à la base canonique= estC= (c1;c2;c3) avec R c1 = (1 ; 0 ; 0) ,c2 = (0 ; 1 ; 0),c3 = (0 ; 0 ; 1) . On notéI3 et la matrice unité d'ordreOd'ordre 3. la matrice nulle On considère l’endomorphismeu deEdéfini par : u(c1) = 4c1+c2+c3 ;u(c2) =c1+ 4c2+c3 ;u(c3) =c1+c2+ 4c31°) Déterminerla matriceAassociée àu dans la baseC. 2°) Calculer (A-I)(A-6I) . 3°) On considère les vecteursb1 =c1-c2 ,b2 =c1-c3 etb3 =c1+c2+c3. a) Montrer queB= (b1;b2;b3) estune base deE . b) SoitP la matrice de passage de la baseCà la baseB.Déterminer par la méthode du pivot de Gauss la -1 matricePc) Déterminer la matriceM deu relativement à la baseB. n nn-1 4°) Pour tout entier naturel non nuln , calculerM , et exprimerA enfonction deM ,PetP . EXERCICE D'ANALYSE(sur 10 points)Pour tout entier naturel non nuln , on note la fonctionfn définie sur [ 0 ; +¥[ par : n-x n (x) =. OnnoteCnla courbe représentative deif Or rj. fn dans un repère orthogonal; ; n! A) Étudier les variations defnsur [0 ; +¥[ .Pourn> 2, étudier la position relative deCnet de Cn-1et vérifier que le point deCn,A(n;fn(n) )est aussi surCn-1.B) Étude de la suite(un) définie pourn³1 parun=fn(n) . 1°) Enutilisant les résultats de la partie A), montrer que (un) est décroissante. 2 t 2°) Soitgpar :sur [0; 1] la fonction définieg(t) = ln(1+t) –t+ . 4 2 t a) Montrer que pour touttln(l + de [0 ; 1],t)£t- . 4 n 1 1-æ1ö 4n b) En déduire que pour tout entiern³11 ,+ £eç ÷ ènø 1 un+1 -4n 3°) a)Montrer que pour tout entiern³1£e. u n 1æ1 1 -1-1+ +...+ ç 4è2n-1 b) En déduire que pour tout entiern³2 ,u£en n dt1 1 4°) a)Montrer que pour tout entiern³2 ;£1+ +...+. ò t2n-1 1

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