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ESG 2005 Option Øconomique Math IAVIS : Nous rappelons que l’usage des calculatrices est interditAucun document n est autorisØ. Les candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre enØvidence les principaux rØsultats et à donner des dØmonstrations complŁtes de leurs a¢ rmations.EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 4 ...

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ESG 2005 Option économique Math I

AVIS : Nous rappelons que lusage des calculatrices est interdit Aucun document nest autorisé.Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats et à donner des démonstrations complètes de leurs a¢ rmations.

EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 4 points)

Un candidat participe à un jeu télévisé où on lui pose cinq questions.Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule bien sûr étant correcte.Le candidat est gagnant sil a fourni au moins quatre réponses exactes. Sile candidat ne connaît pas la réponse, il répond au hasard ; sinon il fournit la bonne réponse avec une probabilité égale à 1.Soitpla probabilité quil connaisse la réponse pour chacune des questions.

1. Déterminerla probabilitérque le candidat réponde correctement à une question particulière.

2. Exprimeren fonction derla probabilitéquil soit gagnant.

3. Sachantque le candidat a gagné, calculer en fonction depla probabilitéquil ait répondu exactement à toutes les questions.

4. Audébut du jeu, on présente au candidat trois enveloppes contenant le questionnaire qui lui sera remis et il en choisit une au hasard.Sachant quil connaît quatre réponses dans lenveloppeE1et deux dans les enveloppesEetE, calculer sa probabilité de gaing. 2 3

EXERCICE DALGÈBRE (sur 6 points) On noteElespace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2, muni de sa base canonique 2 B= (1;X;X). E!E Soitulapplication dénie surEpar avec P7!u(P) 20 8x2R; u(P)(x) = (2x+ 1)P(x)(x1)P(x); 0 oùPdésigne la dérivée première du polynômeP.

1. Montrerqueuest un endomorphisme deE.

2. Déterminerla matriceMdeurelativement à la baseB.

3. Déterminerles valeurs propres deuet les sous espaces propres associés. Lendomorphismeuest-il diagonalisable ?

EXERCICE DANALYSE (sur 10 points)

nx e Pour tout entiern>0, on notefla fonction dénie surRpar :f(x) = n n x 1 +e On noteCnla courbe représentative defn.

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