ESSEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

ESSEC 2000. Math 1 option scientifiqueDans l’ensemble du probl`eme, on d´esigne par n un nombre entier naturel non nul et par IR [X]nl’espace vectoriel des fonctions-polynomˆ es de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.On note P le sous-ensemble de IR [X] form´e des fonctions-polynomˆ es unitaires et de degr´e n,n nnautrement dit des fonctions-polynˆomes de degr´e n et dont le coefficient de x est ´egal a` 1.L’objectifduprobl`emeestded´eterminerdesfonctions-polynˆomesP appartenant`aP etr´ealisantnle minimum sur P de chacune des trois expressions suivantes :nsZ Z+1 +12N (P) = |P(x)| dx ; N (P) = P (x)dx ; N (P) = sup |P(x)|1 2 ∞−1≤x≤1−1 −1Les trois parties du probl`eme sont consacr´ees a` la r´esolution des trois probl`emes ainsi d´efinis. Lapartie 1 est ind´ependante des deux suivantes.Partie 1 Minimisation de N (P) pour P d´ecrivant P2 nOn associe `a tout couple (P,Q) de fonctions-polynomˆ es de IR [X] le nombre r´eel suivant :nZ 1hP,Qi = P(t)Q(t)dt01) Montrer que l’application (P,Q)7→hP,Qi d´efinit un produit scalaire sur IR [X].n2) On consid`ere la fonction f associant `a tout n-uplet (x ,x ,...x ) de nombres r´eels0 1 n−1l’expression suivante (qui repr´esente le carr´e de la distance entre les deux fonctions-n n−1polynˆomes t7→t et t7→x t +···+x t+x de IR [X]) :n−1 1 0 nZ 1n n−1 n−2 2f(x ,x ,...,x ) = (t −x t −x t −···−x t−x ) dt0 1 n−1 n−1 n−2 1 00a) Citer avec pr´ecision le th´eor`eme permettant d’affirmer l’existence et l’unicit´e d’un n-uplet(a ,a , ...