ESSEC 2000 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

Description

ESSEC 2000, math2, Option scientifiqueOn consid`ere un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se d´eroule en une suite d’´epreuves de lafa¸con suivante, jusqu’a` ´elimination d’au moins deux des trois tireurs :• Tous les tirs sont ind´ependants les uns des autres.• Lorsque A tire, la probabilit´e pour qu’il atteigne son adversaire est ´egale a` 2/3.•e B tire, la pilit´e pour qu’ile son adv est ´egale `a 1/2.• Lorsque C tire, la probabilit´e pour qu’il atteigne son adversaire est ´egale a` 1/3.•e qu’un des tireurs est atteint, il est d´efinitivement ´elimin´e des ´epreuves suivantes.• A chacune des ´epreuves, les tireurs non encore ´elimin´es tirent simultan´ement et chacun d’euxvise le plus dangereux de ses rivaux non encore ´elimin´es.(Ainsi, a` la premi`ere ´epreuve, A vise B tandis que B et C visent A).Pour tout nombre entier n≥ 1, on consid`ere les ´ev´enements suivants :hh iiABC : a` l’issue de la n-i`eme ´epreuve, A, B et C ne sont pas encore ´elimin´es .nhh iiAB : `a l’issue de la n-i`eme ´epreuve, seuls A et B ne sont pas encore ´elimin´es .nOn d´efinit de fa¸con analogue les ´ev´enements BC et CA .n nhh iiA : a` l’issue de la n-i`eme ´epreuve, seul A n’est pas ´elimin´e .nOn d´efinit de fa¸con analogue les ´ev´enements B et C .n nhh ii∅ : a` l’issue de la n-i`eme ´epreuve, les trois tireurs sont ´elimin´es .nEnfin, ABC est l’´ev´enement certain, AB , BC , CA , A , B , C , ∅ l’´ev´enement impossible.0 0 0 0 0 0 0 0Partie IOn d´etermine dans cette ...

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ESSEC 2000, math2, Option scientifique

Onconsid`ereuncombatentretroistireursA,B,C,quireuoes´dnuseelne´ed’teuisdveeuprale fac¸onsuivante,jusqu’a`e´liminationd’aumoinsdeuxdestroistireurs: •nastepdndne´noitres.sautnsdelesustlessirusTo •LorsqueAevdaiasrseerge´t’iquttlagneionesale`a2al,eriturpo´eitilabobpr/3. •LorsqueBosengietasrevdanouept´liatilu’rqiterl,paorabibst´eiree`a1gale/2. •LorsqueCeittesgnquurla’itiliope´rpalbaboegale`a1iaerse´tnodaevsrri,et/3. •ssuieLuovreses.vantle,inteitttaesrsueritsednu’uqeuq´epredesmin´´eliemtnitevfieints´d •es,lesuvsnurretierocneno´nimile´ucencAahpeered´sxeuestirentsimultane´emtntehccanu’d viseleplusdangereuxdesesrivauxnonencoree´limin´es. (Ainsi,`alapremie`ree´preuve,AviseBtandisqueBetCvisentA). Pour tout nombre entiern≥snoce`dino,1ne´entmelereevs´ntvauisss: hh ii ABC n ssi’la`:aledeun-e´epi`eme,reuvA,BetCenosescntnape´orimel´ein.s AB n e:laa`si’ldeusnevs,uesl-i`eme´epreuAetB.s´eenionsmile´erocnesaptn hh ii Onde´finitdefa¸conanalogueles´eve´nementsBC n etCA n . A n aelisl’edsu:a`n`e-ievs,ueleme´rpueA´elimin´en’e.stpas hh ii Onde´finitdefa¸conanalogueles´ev´enementsB n etC n . ∅ n ’la`ussiaede:ln´epr`eme-itsrirtiol,seueevn´mili´entsorseu.se hh ii Enfin,ABC 0 lt´’vee´enemtnecrsteain,AB 0 ,BC 0 ,CA 0 ,A 0 ,B 0 ,C 0 ,∅ 0 .biel´’l´eevmeneimntsspo Partie I Ond´eterminedanscettepartieIlesprobabilite´spourqueA,B,Cremportent le combat. 1)laCdluclit´es.eprobabi a)Exprimer, siUetVocleuqstnemene´v´euxdentneigesd´no´n´sdeibilorabacepnespsd’unque,e laprobabilite´p(U∪Vde)´el’env´menetU∪Ven fonction dep(U),p(V) etp(U∩V). b)obprlare´eitilabiude´dnE`alaeuvelepaqueluq`’oprue´rpuaentipenrticA,B,C (Arate son tir) et (BouClentseissseur´.)ritru c)ueaqeplluvreale`tnitraepicbabilit´irelaproa`nu´epepeuoqr’uude´dnEA,B,C (Asuisre´it)rstnoet(BouCtrueltne.)rirsiss´eus 2)´Dnamieretprdeontibobalitie´csnoidtionnelles a)qrer’leu´ve´menetenMontAB n est impossible pour tout nombre entier natureln. Danslasuite,onneconside´reradoncqueles´eve´nementsABC n ,BC n ,CA n ,A n ,B n ,C n , ∅ n . b)paorabibilicetlrExpellnoce´tilennoitidp(ABC n+1 /ABC n ). c)Expliciterp(BC n+1 /ABC n al’a)`ui,ponsdrnedediqaletseu1noip(CA n+1 /ABC n ). d)Expliciterp(A n+1 /ABC n ),p(B n+1 /ABC n ) etp(C n+1 /ABC n ). e)Expliciterp(A n+1 /CA n ),p(B n+1 /BC n ),p(C n+1 /CA n ) etp(C n+1 /BC n ). f )Expliciterp(∅ n+1 /ABC n ),p(∅ n+1 /BC n ) etp(∅ n+1 /CA n ). 3)nd’´eprembremoyeoNbmtaelocch’ave`eelqussleussisedesevu’la` On noteT’ialuessquduceellesseeatoeal´iablavarls`veeupr´ed’remboneltnauqidnieri combat,c’est`adireaudel`aduquelilnerestequ’untireurauplus. a)eelleuQborpaltsit´eabil´ev´del’netnemeT= 1 ? b)Soitn≥elucpalr2laC.edt´’´elbarolibitnusvinavee´enemt: ABC 1 ∩ABC 2 ∩. . .∩ABC n−1 ∩ABC n c)Soitn≥ru0tssuementspoivanaprllecual.C2lera´tdeibilorabv´enes´eiond´eun≤k≤n−1 : ABC 1 ∩. . .∩ABC k ∩CA k+1 ∩. . .∩CA n (pourkmenetli,0=s’agitdel’´ev´enCA 1 ∩CA 2 ∩. . .∩CA n ).