ESSEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

´ESSEC 2002, Option scientifique, MATHEMATIQUES IDans la suite, on d´esigne par n un nombre entier sup´erieur ou ´egal a` 2 et par R [X] l’espacenvectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal a` n.On rappelle qu’un polynˆome non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant (c’est a` direle coefficient de son terme de plus haut degr´e) est ´egal a` 1.L’objet du probl`eme est l’´etude des extrema d’une fonction de plusieurs variables (partie II).A cet effet, on ´etudie auparavant, dans la partie I, une famille de polynˆomes de R [X] et leursnracines.Les deux parties ne sont pas ind´ependantes, mais on pourra admettre des r´esultats de la partie Ipour pouvoir traiter la partie II.Partie I1) D´efinition d’un endomorphisme φ de R [X]n0a) Etablir que l’application associant `a tout polynomˆ eP deR [X] le polynˆomeφ(P) = 2xP −n0 00P” (ou` P etP d´esignent les d´eriv´ees premi`ere et seconde deP) est un endomorphisme deR [X].n2 nb)Ecrire sa matrice dans la base canonique (1,x,x ,...,x ) deR [X].n2) El´ements propres de l’endomorphisme φa) D´eterminer les valeurs propresλ ,λ ,...,λ deφ (on supposera queλ ≤λ ≤...≤λ et0 1 n 0 1 nmontrer que φ est diagonalisable.b)Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0≤p≤n, qu’il existe un et un seul polynomeˆunitaire H deR [X] v´erifiant :p n00 0H −2xH +2pH = 0pp pc) Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0≤p≤n, que H est n´ecessairement de degr´epp.d) Expliciter les polynˆomes H , H , H , H dans la base ...