ESSEC 2003 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

ESSEC option Eco 2003Maths IIIExercice 1 Suites r´ecurrentes et alg`ebre lin´eaireNSoita un nombre r´eel. On noteR l’ensemble des suites r´eelles d´efinies surN , etF le sous- ensembleNdeR form´e des suites (u ) qui v´erifient : ∀n∈Nu = 3au +(1−3a) u .n n+3 n+1 nn∈NL’objet de ce probl`eme est l’´etude de l’ensemble F .´I. Etude du cas particulier a = 1.Soit (u ) la suite d´efinie par ses trois premiers termes u , u ,u , et la relation de r´ecurrencen 0 1 2n∈N∀n∈Nu = 3u −2u .n+3 n+1 n   u 0 1 0n   Pour tout entier natureln, on pose : X = u et on noteM la matrice carr´ee 0 0 1n n+1u −2 3 0n+21. Reconnaˆıtre, pour tout entier naturel n , le produit MX .nEn d´eduire l’expression de X en fonction des matrices M, X et de l’entier naturel n.n 02. a) D´eterminer les valeurs propres de la matrice M et leur sous-espace propre associ´e.b) La matrice M est-elle diagonalisable ?33. On note f l’endomorphisme deR canoniquement associ´e a` M , c’est-a`-dire tel que M soit la3matrice de f dans la base canoniqueB deR .0 0 0 0 0a) D´eterminer une base B = (e ,e ,e ) telle que la matrice T de f dans B v´erifie T =1 2 3 −2 0 00 0 0 0 1 1 , et que les vecteurs e , e , e aient respectivement pour premi`ere com-1 2 30 0 1posante 1, 1 et 0.nb) D´eterminer, pour tout entier naturel n , l’expression de T4. Soit P la matrice de passage de la baseB a` la baseB ’ . Exprimer M en fonction de T , P et−1 nP , puis M en fonction des mˆemes matrices et de l’entier naturel ...