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ESSEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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666ESSEC 2004, math 2, option scientifiqueNotationsDans tout le probl`eme, n d´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal a` 2.On note E ={1, 2,...,n} = [[1,n]] et Ω l’ensemble des permutations de E .n nPour tout ensemble finiA, on note Card(A) son cardinal, c’est-` a-dire le nombre de ses ´el´ements.( n!n si 06k6nkOn note , ou C le nombren k!(n−k)!k0 sinonPartie IPour tout ω2 Ω, on appelle point fixe de ω, tout ´el´ement k2E tel que ω(k) =k.nOn appelle d´erangement toute permutation ω2 Ω telle que pour tout k2 E , ω(k) = k. Ainsinun d´erangement est une permutation sans point fixe.On note D ={ω2 Ω/8i2E , ω(i) =i}, et pour tout k2En,0 n nD ={ω2 Ω/ω admet exactement k points fixes}n,kEnfin, on noted = Card(D ) et pour tout k2E , d = Card(D ).n,0 n,0 n n,k n,k1) Montrer que [ D = ω2 Ω/ω| =Id et ω| est un d´erangementn,k I E \InIEnCard(I)=kou` ω| est la restriction de la permutation ω a` I, Id repr´esente la permutation identit´e, etIω| est la de la perm ω au compl´ementaire de I.E \In n2) En d´eduire que pour tout k2E , d = d .n n,k n−k,0k3)a) Soit ω2 Ω un d´erangement de E . Soit j2 [[1,n]]. On d´efinit l’applicationωf sur E parn j n+1ω(k) si k2{j,n + 1}ωf(k) = n + 1 si k =jj ω(j) si k =n + 1Montrer que l’on d´efinit ainsi un d´erangement de E .n+1b) Soit ω2 Ω admettant un unique point fixe j2 [[1,n]]. Montrer que ωf d´efini ci-dessus estjun d´erangement de E .n+1c) Montrer que les d´erangements de E construits dans les questions ...

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