ESSEC 2005 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

ESSEC 2005, math I, option scientifiqueNotationsDans tout ce probl`eme, on consid`ere n un entier naturel non nul.tPour toute matrice M , on note M sa transpos´ee.nOn identifie l’espace vectorielR , muni de sa base canonique, a` l’ensemble des matrices colonnesna`n lignes; ainsi pour tout vecteurx deR et pour touti∈ [[1,n]], on notex sai-i`eme coordonn´eei x1x 2 et x = .. ..xnn tOn munit R de son produit scalaire canonique : hx,yi = xy et la norme euclidienne de x estpd´efinie par : ||x|| = hx,xinOn d´esigne par U une partie non vide deR .nA f fonction continue de U dans R, et y vecteur de R , on associe la fonction F d´efinie sur Uynpar : x 7→ hx,yi−f(x) et on note U(f) l’ensemble, ´eventuellement vide, des vecteurs y de Rpour lesquels F admet un maximum.y?Lorsque U(f) est non vide, on appelle fonction conjugu´ee de f la fonction not´ee f d´efinie sur?U(f) par : f (y) = max{F (x)/x∈U}.yPartie IDans cette partie, n = 1 et U est un intervalle deR; ainsi le produit scalaire se confond avec leproduit naturel surR et la fonction F est d´efinie sur l’intervalle U par F (x) =xy−f(x).y y?1) Lorsque U est un segment deR, montrer que f est d´efinie surR.2) Quelques exemples.?Apr`es avoir ´etudi´e les variations de F , pr´eciser U(f) et f dans les cas suivants :y2xa) U =R, f(x) =a ou` a est un r´eel fix´e strictement positif.2α∗ xb)U =R , f(x) = ou` α est un r´eel fix´e strictement sup´erieur `a 1.+ α1 1(on pourra introduire le r´eel β v´erifiant : ...