ESSEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

ESSEC 2005, math II, option ´economiqueLes deux parties du probl`eme sont ind´ependantes.Dans ce probl`eme, les variables al´eatoires sont toutes d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A,P).Si X est une variable al´eatoire r´eelle, E(X) d´esigne son esp´erance.Lorsque (X ) est une suite de variables al´eatoires r´eelles, on note, pour tout n > 1,n n>1nXS = X .n kk=1Pr´eliminaires1) Soit (X ) une suite de variables al´eatoires r´eelles de mˆeme loi, admettant une esp´erance m.n´Enoncer, avec pr´ecision, la loi faible des grands nombres pour la suite (X ).n2) Soitδ un r´eel strictement positif etA un sous-ensemble deR tel que l’intervalle ]m−δ,m+δ[soit inclus dans le compl´ementaire de A. D´eterminer Snlim P ∈An→+∞ nPartie I : Un exemple discretDans cette partie, X est une variable al´eatoire suivant une loi de BernoulliB(p), avec 01nXOn note S = X . On rappelle que P(X = 1) =p, P(X = 0) = 1−p =q.n ii=1sX sX1)a)Montrer que pour tout s r´eel, la variable al´eatoire e admet une esp´erance E(e ).sXb)D´eterminer la fonction ϕ :s7→E(e ).2)a)Pr´eciser la loi de S .nS Sn nb)D´eterminer (Ω) et la loi de la variable al´eatoire .n nSn nsnc) Soit s un r´eel. Montrer que E(e ) = ϕ(s/n) .Soit a un r´eel fix´e de ]0,1[.3)a)On note K ={k∈ [[0,n]]|k/n>a}. Soit s un r´eel positif. Montrer quea XS kn Sns s k k n−k asn nE(e )> e C p q > e P ...