feuille - Recueil d'annales en Mathématiques Terminale S ...

Description

feuille - Recueil d'annales en Mathématiques Terminale S ...

Sujets

• annales

Informations

• Publié par: newbie
• Nombre de lectures: 307
• Langue: Français

Extrait

´Recueil d’annales en Mathematiques Terminale S - Enseignement obligatoire ´Integrales 1 Fr´ed´eric Demoulin Derni`ere r´evision : 16 septembre 2005 [e-mail]Annales Terminale S Int´egrales Tableau r´ecapitulatif des exercices ⋆ indique que cette notion a ´et´e abord´ee dans l’exercice F.I. : fonction d´efinie par une int´egrale; I.P.P. : int´egration par parties; E.D. : ´equations diff´erentielles N˚ Lieu Ann´ee QCM F.I. I.P.P. Aires Vol. E.D. Trigo. exp ln Suites 1 Asie Juin 2005 ⋆ ⋆ ⋆ 2 La R´eunion Juin 2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 3 Liban Juin 2005 ⋆ ⋆ ⋆ 4 Inde Avril 2005 ⋆ ⋆ ⋆ 5 Am´erique du Sud Nov 2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 6 France Sept 2004 ⋆ ⋆ 7 Polyn´esie Sept 2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 8 Antilles-Guyane Juin 2004 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 9 Polyn´esie Juin 2004 ⋆ ⋆ 10 Polyn´esie Sept 2001 ⋆ ⋆ ⋆ 11 Inde Avril 2001 ⋆ ⋆ ⋆ 12 France Juin 1999 ⋆ ⋆ ⋆ 13 Asie Juin 1998 ⋆ ⋆ ⋆ 14 La R´eunion 1997 ⋆ ⋆ ⋆ 15 Bordeaux-Caen 1986 ⋆ 16 Nancy-Metz 1980 ⋆ Fr´ed´eric Demoulin Page 1Š ‚ Z Z € Œ Z ‚ Œ Annales Terminale S Int´egrales Exercice 1 Asie, Juin 2005 (7 points) 2On s’int´eresse dans cet exercice a` une suite de nombres rationnels qui converge vers e . On d´efinit, pour tout entier naturel n> 1, l’int´egrale : 2 1 n xI = (2−x) e dx.n n!0 1. Calculer I .1 n2 2´2. Etablir que pour tout entier naturel n> 1, 06I 6 e −1 .n n! `3. A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que pour tout entier naturel n> 1 : n+12 I =I − .n+1 n (n+1)! 2 n2 2 2 24. D´emontrer par r´ecurrence que e = 1+ + +...+ +I .n 1! 2! n! n2 5. On pose, pour tout entier naturel n> 1, u = .n n! u 1n+1 (a) Calculer et prouver que pour tout entier naturel n> 3, u 6 u .n+1 n u 2n n−3 1 (b) En d´eduire que pour tout entier naturel n> 3, 06u 6u .n 3 2 6. En d´eduire la limite de la suite (u ) puis celle de la suite (I ).n n 7. Justifier enfin que : 2 n2 2 22 e = lim 1+ + +...+ . n→+∞ 1! 2! n! Exercice 2 La R´eunion, Juin 2005 (3 points) L’exercice comporte une annexe a` rendre avec la copie. On consid`ere les fonctions f et g d´efinies, sur l’intervalle [0; +∞[, par : xf(x) = ln(x+1) et g(x) = e −1. On d´esigne par C et C les courbes repr´esentatives des fonctions f et g dans un rep`ere orthonormalf g−→ −→(O; ı ,  ). Ces courbes sont trac´ees sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile; cette annexe sera a` joindre a` la copie, avec les ´eventuels ajouts effectu´es par le candidat. 1. V´erifier que les courbesC etC ont une tangente commune au point O(0; 0). Pr´eciser la position def g la courbeC par rapport `a cette tangente.f 2. D´emontrer que les courbesC etC sont sym´etriques par rapport a` la droite d’´equation y =x.f g 3. Soit a un nombre r´eel strictement positif. On se propose de calculer de deux faco¸ ns diff´erentes le a nombre I(a) = ln(x+1)dx. 0 (a) En utilisant des consid´erations d’aires, d´emontrer que : ln(a+1) xI(a) =aln(a+1)− (e −1) dx. 0 Fr´ed´eric Demoulin Page 2Z Annales Terminale S Int´egrales (b) En d´eduire la valeur de I(a). (c) Retrouver la valeur de I(a) en effectuant une int´egration par parties. Annexe (`a rendre avec la copie) 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 Exercice 3 Liban, Juin 2005 (8 points) Partie A On consid`ere la suite (u ) d´efinie pour tout entier naturel n non nul par :n 1 n tu = (1−t) e dt.n 0 t t1. Montrer que la fonction f : t7! (2−t)e est une primitive de g : t7! (1−t)e sur [0; 1]. En d´eduire la valeur de u .1 2. Montrer `a l’aide d’une int´egration par parties que, pour tout n non nul : u = (n+1)u −1 (R)n+1 n Fr´ed´eric Demoulin Page 3Z Annales Terminale S Int´egrales Partie B On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices diff´erentes pour les valeurs approch´ees des 25 premiers termes de la suite (u ) en utilisant pour le calcul la relation de r´ecurrence (R) ci-dessus.n Voici les r´esultats affich´es par ces deux calculatrices : Valeur Valeur de u affich´ee par Valeur de u affich´ee parn n de n la premi`ere calculatrice la deuxi`eme calculatrice 1 7,1828182845E−01 7,1828182846E−01 2 4,3656365691E−01 4,3656365692E−01 3 3,0969097075E−01 3,0969097076E−01 4 2,3876388301E−01 2,3876388304E−01 5 1,9381941508E−01 1,9381941520E−01 6 1,6291649051E−01 1,6291649120E−01 7 1,4041543358E−01 1,4041543840E−01 8 1,2332346869E−01 1,2332350720E−01 9 1,0991121828E−01 1,0991156480E−01 10 9,9112182825E−02 9,9115648000E−01 11 9,0234011080E−02 9,0272128000E−02 12 8,2808132963E−02 8,3265536000E−02 13 7,6505728522E−02 8,2451968000E−02 14 7,1080199309E−02 1,5432755200E−01 15 6,6202989636E−02 1,3149132800E+00 16 5,9247834186E−02 2,0038612480E+01 17 7,2131811612E−03 3,3965641216E+02 18 −8,7016273909E−01 6,1128154189E+03 19 −1,7533092042E+01 1,1614249296E+05 20 −3,5166184085E+02 2,3228488592E+06 21 −7,3858986580E+03 4,8779825043E+07 22 −1,6249077047E+05 1,0731561499E+09 23 −3,7372887209E+06 2,4682591448E+10 24 −8,9694930302E+07 5,9238219474E+11 25 −2,2423732585E+09 1,4809554869E+13 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (u ) quand on examine les r´esultats obtenusn avec la premi`ere calculatrice? Et les r´esultats obtenus avec la deuxi`eme calculatrice? Partie C Dans cette partie on se propose d’´etudier la suite (u ) `a partir de la relation de d´efinition :n 1 n tpour tout entier naturel n non nul, u = (1−t) e dt.n 0 1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, u > 0.n 2. (a) Montrer que pour tout r´eel t de l’intervalle [0; 1] et pour tout entier naturel non nul n : n t n(1−t) e 6 e×(1−t) . e (b) En d´eduire que pour tout n non nul, u 6 .n n+1 3. D´eterminer la limite de la suite (u ).n Partie D Fr´ed´eric Demoulin Page 4Annales Terminale S Int´egrales Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de r´ecurrence (R) v´erifi´ee par la suite (u ) :n u = (n+1)u −1.n+1 n ´Etant donn´e un r´eel a, on consid`ere la suite (v ) d´efinie par :n v =a et pour tout entier naturel non nul n, v = (n+1)v −1.1 n+1 n On s’int´eresse a` l’influence du terme initial a de cette suite sur son comportement `a l’infini. 1. En utilisant un raisonnement par r´ecurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, v =n u +(n!)(a+2−e) ou` n! d´esigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.n ´2. Etudier le comportement de la suite (v ) a` l’infini suivant les valeurs de a.n (On rappelle que lim n! = +∞) n→+∞ 3. En d´eduire une raison susceptible d’expliquer les r´esultats affich´es par les deux calculatrices. Exercice 4 Inde, Avril 2005 te On consid`ere la fonction f, d´efinie sur [1; +∞[ par f(t) = . t 1. (a) Justifier la continuit´e de f sur [1; +∞[. (b) Montrer que f est croissante sur [1; +∞[. 2. Restitution organis´ee de connaissances On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni. Pour tout r´eel x de [1; +∞[, on noteA(x ) l’aire du domaine d´elimit´e par la courbe repr´esentant f0 0 dans un rep`ere orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’´equations x = 1 et x =x .0 On se propose de d´emontrer que la fonction ainsi d´efinie sur [1; +∞[ est une primitive de f. (a) Que vautA(1)? (b) Soit x un r´eel quelconque de [1; +∞[ et h un r´eel strictement positif. Justifier l’encadrement0 suivant : A(x +h)−A(x )0 0 f(x )6 6f(x +h).0 0 h (c) Lorsque x > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h< 0 et tel que x +h> 1?0 0 (d) End´eduirela d´erivabilit´eenx dela fonctionA ainsiquelenombred´eriv´eenx dela fonctionA.0 0 (e) Conclure. Fr´ed´eric Demoulin Page 5Z ÷ Annales Terminale S Int´egrales 5 4 3 e 2 1 0 x0 x +h00 1 2 Exercice 5 Am´erique du Sud, Novembre 2004 A 2 B 1 0 0 1 2 3 −→ −→On a repr´esent´e ci-dessus, dans un rep`ere orthonormal (O; ı ,  ), la courbe repr´esentative de la fonction f d´erivable surR, solution de l’´equation diff´erentielle ′(E) : y +y = 0 et telle que y(0) = e. 1. D´eterminer f(x) pour tout x r´eel. 2. Soit t un r´eel donn´e de l’intervalle [1; e]. 1−xR´esoudre dansR l’´equation e =t d’inconnue x. 3. Soit A le point d’abscisse 0 et B le point d’abscisse 1 de la courbe. On consid`ere le solide obtenu par rotation autour de l’axe des ordonn´ees de l’arc de courbeAB comme e 2repr´esent´e ci-dessous. On note V son volume et on admet que V =π (1−lnt) dt. 1 Calculer V a` l’aide de deux int´egrations par parties successives. Fr´ed´eric Demoulin Page 6Z Annales Terminale S Int´egrales 2 1 −2 −1 1 Exercice 6 France, Septembre 2004 1. Soit g la fonction d´efinie sur l’intervalle ]1; +∞[ par : 1 g(x) = . 2x(x −1) (a) D´eterminer les nombres r´eels a, b et c tels que l’on ait, pour tout x> 1 : a b c g(x) = + + . x x+1 x−1 (b) Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ]1; +∞[. 2. Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle ]1; +∞[ par : 2x f(x) = . 22(x −1) Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1; +∞[. 3. En utilisant les r´esultats obtenus pr´ec´edemment, calculer : 3 2x I = lnxdx.22(x −1)2 On donnera le r´esultat exact sous la forme pln2+qln3, avec p et q rationnels. Exercice 7 Polyn´esie, Septembre 2004 La courbeC donn´ee ci-dessous est la repr´esentation graphique de la fonction f d´efinie sur ]0; +∞[ par : lnx√f(x) = +1−x. x Fr´ed´eric Demoulin Page 7€ ” Š Z Z — Annales Terminale S Int´egrales 1 −→ α0 −→O 0 1 2 3ı -1 C -2 -3 -4 1. (a) Montrer que f est d´erivable et que, pour tout x strictement positif, f(x) est du signe de : √ N(x) =− 2 x x−1 +lnx . (b) Calculer N(1) et d´eterminer le signe de N(x) en distinguant les cas 0 1. (c) En d´eduire le sens de variation de f sur ]0; +∞[ et les coordonn´ees du point deC d’ordonn´ee maximale. 2. On noteA(α) l’aire, exprim´ee en unit´es d’aire, de la partie du plan gris´ee sur la figure, ou` α d´esigne un r´eel de ]0; 1[. (a) ExprimerA(α) en fonction de α (on pourra utiliser une int´egration par parties). (b) Calculer la limite de A(α) lorsque α tend vers 0. Donner une interpr´etation graphique de cette limite. 3. On d´efinit une suite (u ) par son premier terme u ´el´ement de [1; 2] et :n 0n∈N lnun pour tout entier natureln, u = +1.√n+1 un lnx (a) D´emontrer, pour tout r´eel x ´el´ement de [1; 2], la double in´egalit´e 06 √ 6 1. x (b) D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n, u appartient a` [1; 2].n 4. En remarquant que,