GEIPI mathematiques 2000

TerminaleS mai2000 Concours Geipi 2000 CorrectiondansSujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002.1. Exercice 1 (15 points) PartieA22x 2Onconsidèrel'application g de[0; +∞[dansR définiepar g(x)= − ln(x +1) oùlndésignela2x +1fonctionlogarithmenépérien.1.a.Déterminerlalimitedeg(x)quandx tendvers+∞.b.Calculerladérivéedegetdonnerletableaudevariationdeg.2.a.Montrerque,surl'intervalle[1;+∞[,l'équationg(x)=0admetunesolutionuniqueα .−1b.Donnerunevaleurapprochéedeαà10 prèsetjustifierlaréponse.+3.PréciserlesignedegsurR .PartieB2ln(x +1)Soit f la fonction définie sur [0;+∞ [ par f (x)= si x > 0, f (0)= 0 et soit (C) la courbexr rreprésentativedefdansunrepèreorthonormal O ;i ,j .( )f (x)−f (0)1.a.Calculer lim .DétermineruneéquationdelatangenteT à(C)aupointd'abscisse0.0x→0 xb.Montrerque lim f (x)= 0 etque lim f (x)= 0 .x→0 x→+∞2.a.Calculerf '(x)etdonnerunerelationliantf ’(x)etg(x)pourx>0.2αb.SoitαleréeldéfiniàlaquestionA.2.a.Établirquef (α)= .2α +1c.Donnerletableaudevariationdefettracerlacourbe(C).PartieCxOnconsidèrelafonctionFdéfiniesur[1;+∞[parF(x)= f(t)dt .∫ 12 21.Montrerque,pourtoutxdel’intervalle[1;+∞[, ln(x )1, ...