Group bts maths se cira 2009 9.dvi

Mathématiques-BrevetdetechniciensupérieurSession2009-GroupementASpécialitésCIRA,SystèmesélectroniquesLesujetcomprend7pages,numérotéesde1à7Lespages5,6et7sontàrendreaveclacopie.Exercice1 -(9points)Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développementen série de Fourier defonctionspériodiquesrencontréesenélectricité.1. Onconsidèreunentiernatureln strictementpositif.Montrerque:Z1 cos(nπ)−1tcos(nπt)dt=2 2n π0 Z1 cos(nπ)Pourlasuitedel’exercice,onadmetque: tsin(nπt)dt=− .nπ02. Onconsidèrelafonction f définiesur R,périodiquedepériode2,telleque:(f(t)=t sur[0;1[f(t)=0 sur[1;2[(a) Enutilisantledocumentréponsen°1,àrendreaveclacopie,tracerlacourbeC représen-ftativedelafonction f surl’intervalle[−4;4].(b) OnappelleS lasériedeFourierassociéeàlafonction f.f+∞XOnnoteS (t)=a + [a cos(nπt)+b sin(nπt)]f 0 n nn=1Calculera0Donnerlesvaleursdescoefficientsa et b etendéduireque:n n· ¸+∞X1 cos(nπ)−1 cos(nπ)S (t)= + cos(nπt)− sin(nπt)f 2 24 n π nπn=1 Z2£12 2(c) Calculerlecarrédelavaleurefficacedelafonction f,définiparμ = f(t)] dt.ef f 2 0(d) Recopieretcompléter,aveclesvaleursexactes,letableausuivant:n 1 2 3anbn−3(e) Donnerunevaleurapprochéeà10 prèsdunombreréel A définipar:3X1 2 2a + (a +b )0 n n2 n=1A=2μef f13. Soit g la fonction définie sur R , périodique de période 2, dont la courbe représentativeC estgtracéesurl’intervalle[−4;4]dansledocumentréponsen°1.OnadmetqueledéveloppementensériedeFourierS (t)associéàlafonctiong,estdéfinipar:gS ...