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Description

Mathématiques-BrevetdetechniciensupérieurSession2009-GroupementASpécialitésCIRA,SystèmesélectroniquesLesujetcomprend7pages,numérotéesde1à7Lespages5,6et7sontàrendreaveclacopie.Exercice1 -(9points)Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développementen série de Fourier defonctionspériodiquesrencontréesenélectricité.1. Onconsidèreunentiernatureln strictementpositif.Montrerque:Z1 cos(nπ)−1tcos(nπt)dt=2 2n π0 Z1 cos(nπ)Pourlasuitedel’exercice,onadmetque: tsin(nπt)dt=− .nπ02. Onconsidèrelafonction f définiesur R,périodiquedepériode2,telleque:(f(t)=t sur[0;1[f(t)=0 sur[1;2[(a) Enutilisantledocumentréponsen°1,àrendreaveclacopie,tracerlacourbeC représen-ftativedelafonction f surl’intervalle[−4;4].(b) OnappelleS lasériedeFourierassociéeàlafonction f.f+∞XOnnoteS (t)=a + [a cos(nπt)+b sin(nπt)]f 0 n nn=1Calculera0Donnerlesvaleursdescoefficientsa et b etendéduireque:n n· ¸+∞X1 cos(nπ)−1 cos(nπ)S (t)= + cos(nπt)− sin(nπt)f 2 24 n π nπn=1 Z2£12 2(c) Calculerlecarrédelavaleurefficacedelafonction f,définiparμ = f(t)] dt.ef f 2 0(d) Recopieretcompléter,aveclesvaleursexactes,letableausuivant:n 1 2 3anbn−3(e) Donnerunevaleurapprochéeà10 prèsdunombreréel A définipar:3X1 2 2a + (a +b )0 n n2 n=1A=2μef f13. Soit g la fonction définie sur R , périodique de période 2, dont la courbe représentativeC estgtracéesurl’intervalle[−4;4]dansledocumentréponsen°1.OnadmetqueledéveloppementensériedeFourierS (t)associéàlafonctiong,estdéfinipar:gS ...

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Extrait

Mathématiques  Brevet de technicien supérieur Session 2009  Groupement A Spécialités CIRA, Systèmes électroniques

Le sujet comprend 7 pages, numérotées de 1 à 7 Les pages 5, 6 et 7 sont à rendre avec la copie.

Exercice 1 (9 points)

Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier de fonctions périodiques rencontrées en électricité.

1. Onconsidère un entier naturelnstrictement positif. Montrer que : Z 1 cos(nπ)−1 tcos(nπt) dt= 2 2 0 nπ Z 1 cos(nπ) Pour la suite de l’exercice, on admet que :tsin(nπt) dt= −. 0 nπ 2. Onconsidère la fonctionfdéfinie surR, périodique depériode 2,telle que : ( f(t)=tsur [0;1[ f(t)=0 sur[1;2[ (a) Enutilisant ledocument réponse n°1, à rendre avec la copie, tracer la courbe C f représen tative de la fonctionfsur l’intervalle [−4; 4]. (b) OnappelleSla série de Fourier associée à la fonctionf. f +∞ X On noteS(t)=a f a 0 + [ n cos(nπt)+b n sin(nπt)] n=1 Calculera 0 Donner les valeurs des coefficientsa n etb n et en déduire que : · ¸ +∞ X 1 cos(nπ)−1 cos(nπ) S f (t)= +cos(nπt)−sin(nπt) 2 2 4nπnπ n=1 Z 2 1 £ 2 2 (c) Calculerle carré de la valeur efficace de la fonctionf, défini parµ=f(t)] dt. e ff 2 0 (d) Recopieret compléter, avec les valeurs exactes, le tableau suivant :

n1 2 3 a n b n −3 (e) Donnerune valeur approchée à 10près du nombre réelAdéfini par : 3 X 1 2 2 a+b) a 0 +( n n 2 n=1 A= 2 µ e ff

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