HEC 1999 concours Maths 1 BL

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HEC 1999 concours Maths 1 BL

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION BL MATHEMATIQUES I

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Ond´esiretestersilare´partitiondesvoyellesdansuntexteanciencorrespond`acelledelalanguefranc¸aiseactuelle. One´tudiequelquesaspectsprobabilistespermettantder´epondrea`cettequestion. Lesparties1et2sontinde´pendantes.Lapartie3utiliselesnotationsetlesre´sultatsdespartiespre´c´edentes.

Notation SiXetYiablxvartdeusonnoonte`ecrs,teeriosidslasetae´cov(X, Y) leur covariance, si celle-ci existe.

Partie 1 Soientnetsonternecuneu`eredsceuoeledbsantnsurleouseneitredrseu´eouupssri´eocnOdisnxuag.2a`C1, .., Cs. s P Les boules de couleurCisont en proportionpi. On a doncpi= 1 et on suppose que, pour touti,pi>0. i=1 On eﬀectuentirages successifs d’une boule avec remise. Pour toutide{1, .., s}, on noteXiaelbae´lvalairaurleeldsceuorbdebeuoaleaunomtoire´egCi`aesnuteob l’issue desntirages (on remarque que la variableXid´ddnpeeenavtliaareableal´.)´dnOinﬁeotrieUnpar : 2 s P (Xi−npi) Un= . np i=1i A. Etude des variablesXi. 1.De´terminerlaloideXi,eranesp´scea.vacreieatnsno 2 2. Soit(i, j)∈ {1, .., s}tel quei6=jinrmte´e.DediolalreXi+Xjet sa variance. End´eduirequecov(Xi, Xj) =−npipj.

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