HEC 2000 mathematiques ii classe prepa hec (s)

HEC-ESCP-EML 2000. Math 2, option scientifiqueLe probl`eme consiste en l’analyse d’un algorithme de tri et l’´etude de sa complexit´e.On note lnx le logarithme n´ep´erien d’un r´eel strictement positif x et log x son logarithme en base 2. On rappelle que2lnxlog x =2 ln2´Partie I : Etude d’une suite r´eelleDans cette partie la lettre n d´esignera toujours un entier naturel au moins ´egal `a 2.On consid`ere la suite (u ) ∗ d´efinie par son premier terme u et v´erifiant, pour tout n, la relation de r´ecurrence :k k∈N 1n−1X2un = n−1+ uini=11)a)Calculer u et u en fonction de u .2 3 1b)Montrer que, pour tout n au moins ´egal a` 3, on a : nu −(n+1)u = 2n−2.n n−1uk2) Pour tout entier naturel k non nul, on pose : v = .kk +1a) Pour tout n au moins ´egal a` 3, exprimer v −v en fonction de n.n n−1b)D´eterminer deux r´eels α et β v´erifiant, pour tout r´eel x non nul et distinct de −1, l’´egalit´e :2x−2 α β= +x(x+1) x x+1nX 1 u 41c) Pour tout n, ´etablir l’´egalit´e : v = 2 + −2+ .nk 3 n+1k=2nX 1 1 n3) Pour tout n, on pose h = et z = −ln( ).n nk n n−1k=2a) Calculer u en fonction de h , u et n.n n 1nXb)Prouver l’´egalit´e : h = z +lnn.n kk=2c) D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral z .nd)En d´eduire un ´equivalent de h quand n tend vers l’infini.ne) D´eterminer un ´equivalent de u quand n tend vers l’infini.n´Partie II : Etude d’une suite de variables al´eatoiresA On consid`ere un espace probabilis´e dont la probabilit´e est not´ee P, une ...