HEC 2001 mathematiques i classe prepa b/l

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION Lettre et Sciences Sociales (BL)MATHEMATIQUES IAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.On dispose de n jetons numØrotØs de 1 à n, n Øtant un entier strictement supØrieur à 1. On tire, au hasardet sans remise, les jetons un à un. La suite (a ;a ;:::;a ) des numØros tirØs est aussi appelØe permutation de1 2 nel nsemble f1;2;:::;ng. tant donnØ deux entiers k et p vØri…ant 1 < k < p < n, la suite (a ;:::;a ) se rØduisant à (a ) dans le cas oøk p kk est Øgal à p , est appelØe sous-suite de (a ;a ;:::;a ) et son nombre d’ØlØments est appelØ longueur de cette1 2 nsous-suite.On admettra que cette expØrience alØatoire peut Œtre modØlisØe par la donnØe de l univers , ensemble despermutations de f1;2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties ( ) et de la probabilitØ uniforme P, ce qui signi ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES I Année 2001

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

On dispose denjetons numérotés de 1 àn,nOn tire, au hasardétant un entier strictement supérieur à 1. et sans remise, les jetons un à un.La suite(a 1 ;a 2 ;:::;a n )des numéros tirés est aussi appelée permutation de lensemblef1; 2;:::;ng. Étant donné deux entiersketpvériant1< k < p < n, la suite(a k ;:::;a p )se réduisant à (a k ) dans le cas où kest égal àp, est appelée sous-suite de(a 1 ;a 2 ;:::;a n )et son nombre déléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de lunivers, ensemble des permutations def1; 2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties()et de la probabilité uniformeP, ce qui signie 1 que, pour toute permutation!def1; 2;:::;ng, on a :P(f!g) =. n! SiXest une variable aléatoire dénie sur(; ();P), on noteE(X)son espérance etV(X)sa variance. SiXetYsont deux variables aléatoires dénies sur(; ();P), on noteCov(X;Y)leur covariance.

Préliminaire SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansf1; 2;:::;mgoùmest un entier strictement supérieur à 1. m P Montrer légalité :E(X) =P([X>k]). k=1

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