HEC 2002 concours Maths 2 S

Description

HEC 2002 concours Maths 2 S

Informations

• Publié par: porthos
• Nombre de lectures: 256
• Langue: Français

Extrait

HEC 2002, math II Lesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceprobl`emesonttoutesde´finiessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,B, Pleel.selrurse´ava`te) L’esp´eranced’unevariableale´atoireXe´eesottnE(X). Onadmetlesre´sultatssuivants: i) siXetYre´pecna´vtefiireosspeds´tuanesneantl’in´egalit´eravxuedtnosreoiat´ealesblia X6Yce’ts`--aideranifierv´tX(ω)6Y(ωotruop)me´le´tuentωe´ag’lni:eil´tdeΩ)sonaalor E(X)6E(Y). ´ ii)Etantdonne´unefonctionfcontinue sur [0,+∞evariabl[etuneriotae´laeYssopeunntda´e Z +∞ densit´eϕcontinue sur [0,+∞[ et nulle sur ]− ∞,sil’0[,egraint´elf(u)ϕ(u) duconverge 0 absolumentalorslavariableal´eatoiref(Yceanerv´anifit:)pso`sdeueense´pre Z +∞   E f(Y) =f(u)ϕ(u) du 0 PartieI:D´efinitiondel’applicationL On noteEe’l0[rtincfoesedblemnsllse´dfienofs´reetinuessunies,con,+∞[ et telles que, pour Z +∞ −xt toutr´eelxeni’l,fitelarge´tteictrssipontmef(t) dtconverge absolument. 0 1)a)´eVfieriuerqEtsesenuecaptcevorielr´eel. b)irefiqreuV´eEcnoitne0us[res´ernboetesnutinocsnoitcnofselt,+∞[. 2)temen´el´toutoPrufdeEon noteL(fletruorte´iefinou,pioct´endl)nofaxstrictement positif, par : Z +∞ −xt L(f)(xe) =f(t) dt 0 a)´VrefiiquereLdenetuplapese´nieriatacilnoiEdans l’espace vectoriel des fonctions de ]0,+∞[ dansR. −λt b)lee´rtuotruoPλpositif ou nul, on noteε λ e´rnellefie´dpeinarlafonctioε λ (t) = epour toutr´eeltisitopul.Vfounfierq´eritruop,eulee´rtuoλpositif ou nul, la fonctionε λ est dans Euotre´rtteuop,elxstrictement positif, calculerL(ε λ )(x). c)ee´rtuotruop,euqertronMlλpositif ou nul et toute fonctionfdeE, la fonctionε λ fest aussi dansEeelv´etrefii,eopruottu´rx:´el,fitisotilage´’strictementpL(ε λ f)(x) =L(f)(x+λ). 1 3)euned`ertionfoncnoisOcnHntde´eme´elE, de classeCr[sueen´ortbeentsiasc,or0,+∞[. 0 Montrer que la fonctionHest aussi dansEluttoeer´e,topruxstrictement positif, justifier l’´egalite´: 0 L(H)(x) =−H(0) +xL(H)(x) 4)Soit une fonctionfnedteeml´´eE. Pour tout entier naturelnertneuqrofalitcnquonai`,mo n toutr´eeltpositif ou nul associet f(tsuatse)eentdl´emsi´eE. PartieII:D´erivabilit´edelafonctionL(f) Danstoutecettepartieonconside`reunr´eelxstrictement positif et une fonctionfnedt´lme´eeE. x 1)Soithr´eeunnulvlnont´lieire´tnafini’lage´|h|<. 2 a)ruottu´reelPottcitee´me:ntpositif,justifierl’in´etgsailr 2 2 h t −(x+h)t−xt−xt−xt/2  e−e +hte  6e 2 b)uoPtr´ertouelTtnopetem,fujisittrics:e´tl’erifistliga´ein Z  Z T −(x+h)t−xt +∞ e−e|h| −xt2−xt/2 f(t) +tef(t) dt6t|f(t)|e dt  h  2 0 0