HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (s)

HEC 2003. Math1 option scientifique.NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGEDans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2 et on poseE =M (R).p p;1L’espace E est muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteurpx de E est not´ee jjxjj; le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est not´e hx;yi.p pSi u est un vecteur non nul appartenant `a E , D d´esigne la droite vectorielle engendr´ee par up uet si x est un vecteur de E , P (x) est le projet´e orthogonal de x sur la droite D .p D uu?Si F est un sous-espace vectoriel de E , le suppl´ementaire orthogonal de F dans E est not´e F .p pPour toute matrice A appartenant `aM (R) on note Φ l’application lin´eaire deM (R) dansm;‘ A ‘;1M (R) d´efinie par : 8X 2M (R); Φ (X)=AX.m;1 ‘;1 A⁄Pour tout r appartenant `aN et toute famille (u ) de vecteurs de E , Vect(u ;:::;u ) esti 16i6r p 1 rle sous-espace vectoriel de E engendr´e par les vecteurs u ;:::;u .p 1 rSi g est une fonction d´efinie sur un sous-espace vectoriel F de E et `a valeurs dansR, on d´esigneppar max g(x) ou maxfg(x);x2F et jjxjj=1g le maximum, lorsqu’il existe, de la fonction gx2Fjjxjj=1sur l’ensemble des vecteurs x de F dont la norme est ´egale `a 1.´Partie I: Etude d’un exempleDans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose que p = 2. On note (u ;u ) la base1 2canonique de E .21) On consid`ere les vecteurs v ;v et v appartenant `a E et dont les coordonn´ees ...