HEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (s)

HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.Toutes les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,B,P) et a` valeurs r´eelles.L’esp´erance d’une variable al´eatoireX est not´ee E(X). SiA est un ´ev´enement de probabilit´e nonnulle on note P(E/A) la probabilit´e conditionnelle sachant A de l’´ev´enement E.Sin est un entier naturel non nul et six ,...,x sontn r´eels on note min(x ,...,x ) ou min x1 n 1 n i16i6nle plus petit d’entre eux.On rappelle que deux variables al´eatoires X et Y prenant des valeurs positives ou nulles sontind´ependantes si et seulement si, pour tout couple (a,b) de r´eels positifs ou nuls, on a :P([X6a]∩[Y 6b]) =P([X6a])P([Y 6b])On rappelle qu’une variable al´eatoire X prenant des valeurs positives ou nulles suit une loiexponentielle si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e, dite d’absence de m´emoire :2∀(x,y)∈R P([X >x+y]/[X >x]) =P([X >y])+L’objet du probl`eme est l’obtention de diverses caract´erisations de la loi exponentielle.Partie I: Un r´esultat d’analyseOn consid`ere une fonction r´eelle ϕ continue sur [0,1]. On note M le maximum de la fonction|ϕ|sur [0,1].Pour tout entier naturel n non nul et tout r´eel v de [0,1], on note Y une variable al´eatoiren,vsuivant la loi binomiale de param`etres n et v.1) Soit n un entier naturel non nul, x un r´eel de ]0,1[, ε un r´eel strictement positif v´erifiant lesin´egalit´es0