HEC 2003 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

Description

´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES´OPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIMercredi 7 mai 2003, de 8h a` 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE a b1. Soit a et b deux r´eels strictement positifs et A la matrice carr´ee d’ordre 2 d´efinie par : A = .b aa) Montrer que si a et b sont ´egaux, la matrice A n’est pas inversible.2b) Calculer la matrice A −2aA. En d´eduire que, si a et b sont distincts, la matrice A est inversible−1et donner la matrice A .c) Montrer que les valeurs propres de A sont a+b et a−b. a+b 0d) On pose Δ = . D´eterminer une matrice Q, carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels,0 a−b−1inversible et dont les ´el´ements de la premi`ere ligne sont ´egaux `a 1, v´erifiant A =QΔQ .−1 ne) Calculer la matrice Q et, `a l’aide de la question pr´ec´edente, calculer la matrice A pour toutentier naturel non nul n.2. Soitpunr´eelv´erifiant0

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Extrait

´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

´ OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mercredi7mai2003,de8h`a12h.

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE   a b 1.Soitaetb´rxuedeelsstrictementpsotifiestAecicr´ard’eedror´d2einfierape:alamrtA= . b a a) Montrerque siaetbecirtamal,xu´egasontAn’est pas inversible. 2 b) Calculerla matriceA−2aAiseriu,euq.End´edaetbsont distincts, la matriceAest inversible −1 et donner la matriceA. c) Montrerque les valeurs propres deAsonta+beta−b.   a+b0 d)OnposeΔ=.D´eterminerunematriceQsl,eer´tsencieffico`a2erdro’dee´rrac, 0a−b −1 inversibleetdontles´el´ementsdelapremie`relignesont´egaux`a1,v´erifiantA=QΔQ. −1n e) Calculerla matriceQt,`al’aieseitnorpededaluq,ctecualc´´eenedecirlreltamaApour tout entier naturel non nuln. 2.Soitpfiari´elveer´un0tn< p <1 etq1ele´rel−p. On suppose queXetYlbailasetae´eriossontdeuxvar d´efiniessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A,Pequm,´ienodriet)nadnepe´iustesetmˆlantvag´oielem deparame`trep.   X(ω)Y(ω) Pour toutωaprd´esignedeΩ,onM(ω:etnaviu2srerd’oed´errcamatairecl)et Y(ω)X(ω) on noteS(ω) (respectivementD(ω)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M(ωuxdesiinleabrivanote)atinfie´dΩaeotas´lus(rrise,A,P). p a)Montrerquelaprobabilit´edel’´eve´nement[X=Yep´enndost]e:raP([X=Yet en]) = 2−p d´eduirelaprobabilite´del’e´ve´nement{ω∈Ω ;M(ω) est inversible}. b)Calculerlacovariancedesvariablesale´atoiresSetD.

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