HEC 2004 concours Maths 2 Eco

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HEC 2004 concours Maths 2 Eco

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• Publié par: porthos
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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II ECONOMIQUE

Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunesuiteinfiniedelancersd’unepi`ecee´quilibre´e,c’est-a`-direpour laquelle,`achaquelancer,lesapparitionsde✭pile✮et de✭face✮snoles.obabuiprt´eq Onadmetquel’exp´erienceestmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnsi´end,oarepgnR n ne´ve´’ltneme✭pile apparaˆıt au lancer de rangn✮et parS n ne´vnemete´’l✭arppıtaˆfeaacedargnuaalcnren✮

PartieI:Unr´esultatutile ∗ Onconside`reunevariableale´atoireXe´nfidr(Ωiesu,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :a n =P([X=n]). +∞ X 1.a) Justifierque la suite (a n ) n>1 tuessuneeditmoneserbee´ropsl´vreunslsfuoisittifiana n = 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrer´eelxantna`’lappraetle[0interval,etedgemr´saleire1],n´´ealer n a n xest convergente. +∞ X n 2.pengise´ndOrafreavi’tn0ll[end´ectiosurlfinienofal,1] par :∀x∈[0,1], f(x) =a n x. n=1 Onsupposequecettefonctionestde´rivableaupoint1;elleve´rifiedonc: f(1)−f(x) 0 lim =f(1) x→1 1−x x<1  ! +∞n−1 X X f(1)−f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,=t´e:’le´agil[1a n x. 1−x n=1 k=0 f(1)−f(x) b)Ende´duirequelafonctionx7→est croissante sur [0,uttourpofiee´irllveuqe’[1te 1−x f(1)−f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,0:s1l[senie´galit´essuivante6 6f(1). 1−x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelNnon nul, on a :06na n 6f(1). n=1 Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ralna n est convergente.

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