HEC 2004 mathematiques i classe prepa hec (s)

hec 2004, math 1, option scientifiqueSUR LA TRANSMISSION DE MESSAGESLe but de ce probl`eme est de construire un syst`eme permettant de d´etecter et de corrigerautomatiquement des erreurs apparues lors de la transmission de messages binaires. Dans tout leprobl`eme, m, n, p d´esignent des entiers naturels non nuls.Partie I : L’op´eration Δ sur les parties d’un ensembleDans cette partie on consid`ere un ensemble E ={e ,...,e } ayant n ´el´ements.1 nLa diff´erence sym´etrique de deux parties quelconques A et B de E, not´ee AΔB, est l’ensembledes ´el´ements de E qui appartiennent `a l’une et pas a` l’autre. On admet que l’op´eration Δ estcommutative et associative. On sait que pour toute partie A de E :(G) AΔ∅ =A, AΔA =∅Pour toutes parties A et B de E, on pose d(A,B) = Card(AΔB).1)a)Pour une partie A de E, d´eterminer d(A,∅) et d(A,E).b)Montrer que pour toutes parties A et B de E : d(A,B) =d(AΔB,∅).2) On sait qu’on peut repr´esenter une partie A de E par le n-uplet (x ,...,x ) en posant :1 n∀i∈{1,...,n}, x = 1 si e appartient a` A et 0 sinon.i ia) Les parties A, B, AΔB ´etant repr´esent´ees respectivement par (x ,...,x ), (y ,...,y ) et1 n 1 n(z ,...,z ),construirepourunentierifix´eappartenanta`{1,...,n},unetablea`deuxlignes1 net deux colonnes donnant les valeurs de z en fonction des valeurs de x et y . Comparer zi i i iet |x −y |.i ib)Montrer que pour toutes parties A, B et C de E, d(A,C)6d(A,B)+d(B,C).Partie II : Une autre alg`ebre lin´eaireOn consid`ere ...