HEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (s)

HEC 2004, math 2, option scientifiqueToutes les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,F,P).L’objet de ce probl`eme est la recherche et l’´etude de lois poss´edant une propri´et´e, dite de stabilit´e,qui intervient dans la mod´elisation de nombreux ph´enom`enes satisfaisant une certaine invarianced’´echelle.• Soit X une variable al´eatoire r´eelle. On dit qu’une suite (X ) de variables al´eatoires est unek k>1suite de copies de X si (X ) est une suite de variables ind´ependantes ayant toutes mˆeme loik k>1que X.•Onditqu’unevariableal´eatoirer´eelleX suituneloi stablesiilexisteunesuiter´eellestrictementpositive(a ) telleque,pourtoutesuite(X ) decopiesdeX etpourtoutentiernsup´erieurn n>1 k k>1ou ´egal 1, X +···+X , et a X ont mˆeme loi. On v´erifie facilement l’unicit´e de la suite (a )1 n n n n>1si X n’est pas nulle presque suremeˆ nt. On dira alors que (a ) est la suite associ´ee `a la loi den n>1X.∗On noteN l’ensemble des entiers sup´erieurs ou ´egaux a` 1 (i.e. {1,2,3,...}).1 πOn admettra que∀A> 0, ArctanA+Arctan = ou` l’expression Arctan d´esigne la fonctionA 2π πr´eciproque de la restriction de la fonction tangente a` ]− , [.2 2Partie I : Un r´esultat sur certaines suites positivesSoit (u ) une suite de r´eels strictement positifs v´erifiant les deux propri´et´es suivantes:n n>12∗- pour tout couple d’entiers (m,n)∈N , u =u u ,mn m n2∗- il existe un r´eel strictement positif A tel ...