HEC 2005 concours Maths 2 ES

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CCIP MATHÉMATIQUES II OPTION ÉCONOMIQUEDurée 4 heuresMardi 10 Mai2005, de 8 h. à 12 h.La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètrep d'une loi géométrique. Partie I . Formule du binôme négatif . Pour tout couple(n;r) d'entiers naturels tels que0£r£n , on rappelle la formule du n n-1n-1 « triangle de Pascal» := + k k-1k n n k-1 1.Montrer que pour tout entierr de1 ;non a := . , § kSr-1 ( ) k=r 2. Soit (n;r) un couple d'entiers naturels, tels que1£r£n . Pour tout réelx de ]0 ; 1[ , on définit la fonction n kk fr;n: parfr;n(x) =x. S(r ) k=r n n+ l a)Montrer, pour tout réelx de ]0 ; 1[ , l'égalité : (1-x)fr;n(x) =xfr-1 ;n-1(x)-x . k r n n b)On suppose l'entierr fixé. Montrer, lorsquen tend vers+¥, l'équivalence :. ∼r! r 3. Soitx un réel fixé de]0 ; 1[et soitr un entier naturel fixé. On veut établir l'existence de la limite de fr;n(x) lorsquen tendvers +¥, et déterminer la valeur de cette limite. a)lim Justifier l'existence et donner la valeur def0 ;n(xlim) etf1 ;n(x) . n® + ¥n® + ¥ b) Soitr un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réelx de]0 ; 1[ ,on a : r-1 x limfr-1 ;n(x. Montrer que, pour tout réel) =x]0 ; 1[ , de r ® + ¥(1-) n + ¥ r r x x k k limfr;n(x) =. Ainsi,x= . Sr r+1( )r+1 n® + ¥(1-x) (1-x) k=r Partie II. Développement en série deln(l-x).Soitx]0 ; 1[ .un réel de x n n k 1-t * 1.Montrer, pour tout entiern de, l'égalité :dt =. ò1-Sk Nt k=1 0 x n t 2.À l'aide d'un encadrement simple, montrer que :limdt= 0 . ò 1-t n® + ¥ 0 + ¥ k k S 3.En déduire la convergence de la série de terme généralainsi que l'égalité=-ln(l-x). k k k=1 Partie III . Loi binomiale négative . 1/5

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