HEC 2006 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICEDans cet exercice, n dØsigne un entier supØrieur ou Øgal à 2, et deux nombres rØels strictement positifs et Bla matrice deM (R) suivante :n0 10 0 ::: ::: 0B C... .B C. 0 .B C 8B C.. . . b = si j =i+1< i;j. . . .B C. . .0 .B CB = ; c est à dire B = (b ) a = avec b = si j =i 1i;j i;jB. C. . . . :. . . . .B C. . . .. 0 b = 0 sinoni;jB CB. C.. .@ . A. 0 0 ::: ::: 0 0On s intØresse aux valeurs propres de B et pour cela, pour a rØel, on note A =B aI , oø I dØsigne la matricea n nunitØ d ordre n. 0 10 1 0 0 0B C1 0 1 0 0B CB C1. Exemple . Dans cette question, on considŁre la matrice B = 0 1 0 1 0B C@ A0 0 1 0 10 0 0 1 0(a) La matrice B est-elle diagonalisable?1/65(b) DØterminerles valeurs ...