HEC 2007 mathematiques 1 classe prepa hec (s)

6HEC 2007, math 1, option SPour tout entier n sup´erieur ou ´egal a` 2, on note M (R) l’espace vectoriel des matrices carr´eesnd’ordre n `a coefficients r´eels, I la matrice identit´e, et M (R) l’espace vectoriel des matrices `an,1nn lignes et 1 colonne. On confondM (R) etR .n,1Pr´eliminairesSoit E un espace vectoriel r´eel. On appelle norme sur E, toute application ν de E dans R+v´erifiant :i.ν(x) = 0 si et seulement si x = 0;ii. pour tout λ r´eel, pour tout x de E : ν(λx) =|λ|ν(x);2iii. pour tout couple (x,y) de E : ν(x+y)6v(x)+v(y).nMontrer que l’application || || de R `a valeurs dans R d´efinie par : pour tout vecteur∞ + x1. n n .X = deR ,||X|| = max |x|, est une norme surR .∞ i.16i6nxnPartie IA. Une norme sur M (R)n1) Montrer que l’application qui, `a toute matrice A = (a ) de M (R), associe le r´eeli,j nn Xmax |a | , d´efinit une norme surM (R). La norme de A sera not´ee||A||.i,j n16i6nj=1n´2)a)Etablir pour tout X deR , l’in´egalit´e :||AX|| 6||A||×||X|| .∞ ∞nb)Montrer qu’il existe un vecteur X deR , non nul, tel que||AX || =||A||×||X || .0 0 ∞ 0 ∞||AX||∞En d´eduire que||A|| = sup .n ||X||X∈R ,X=0 ∞2´c) Etablir alors que pour tout couple (A,B) de M (R) , on a||AB||6||A||×||B||.nOn dit qu’une suite (A ) de matrices deM (R) converge vers une matriceA deM (R)m m>0 n nsi lim ||A −A|| = 0. On pose A = a (m) et A = (a ) .m m i,j i,j 16i,j6n16i,j6nm→+∞23)a)Montrer que (A ) converge vers A si et seulement si pour tout (i,j) de [1,n]] :m ...