HEC 2007 mathematiques 2 classe prepa hec (stg)

HEC / 2007 / Mathématiques 2 BCEBANQUE COMMUNE D'EPREUVES Conceptions : H.E.C.− E.S.C.P−E.A.POPTION : TECHNOLOGIQUEMATHEMATIQUES II Mercredi 9 mai 2007, de 14 h à 18 h.La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précisiondes raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de toutmatériel électronique est interdite.Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.L'épreuve est constituée de quatre exercices indépendants.Exercice 1Le réel e désigne la base du logarithme népérien.Pour tout entier naturel n, on définit la fonction f par la relation suivante,nvalable pour tout réel x :-nx -x -xf (x)=[(e )/(1+e )] si n est supérieur ou égal à 1, avec f (x)=[1/(1+e )]n 0 BCE 11On pose, pour tout n de \mathbbN , u =ò f (x)dxn 0 n-x x x1. Vérifier que pour tout réel x, on a : [1/(1+e )]=[(e )/(1+e )]x2. ( a) Calculer la dérivée de la fonction qui, à tout réel x associe ln(1+e ), et en déduire la valeur de u .0 ( b) Montrer que u +u =1, et en déduire la valeur de u .0 1 13. Montrer que la suite ( u ) est décroissante, et en déduire qu'elle ...