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INSEEC 2001 concours Maths

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INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Exercice 1 Onconside`relesmatrices:      1 0 01 0 01 1 01 1 0      I= 01 0A= 6−5 6B= 2−2 2etP= 1 0 2 0 0 13−3 41−01 1−1 1

Partie A 1. 2 (a)D´eterminerdeuxr´eelsaetbtels que :A=aA+bI −1 (b)Ende´duirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2. (a) CalculerI+ 3B. 2 (b) ExprimerAen fonction deIet deB. 3. (a)Montrerparre´currencequ’ilexisteunesuite(un)n∈Ntelle que : n ∀n∈N, A=I+unB (On montrera que∀n∈N, un+1=−2un+ 3) (b) Calculerunen fonction den n (c)Ende´duireles9termesdelamatriceA .

Partie B −1 1.Enutilisantlame´thodedupivotdeGauss,montrerquePest inversible et calculerP. Onindiqueratouslesde´tailssurlacopie. −1 2. Calculerla matriceD=P AP. 3. n (a) CalculerDpour tout entier natureln. n n−1 (b)Ve´riﬁerparre´currenceque:∀n∈N, A=P DP. n (c) RetrouveralorsA.

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