Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2002 Tronc Commun Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2002. Retrouvez le corrigé Intégration – Algèbre linéaire – Fonctions de plusieurs variables 2002 sur Bankexam.fr.

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• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

   UV MT 12 Médian Automne 02 Mardi 5 novembre 2002

  Les différentes questions peuvent être traitées de manière indépendante. Les deux parties doivent être traitées sur des copies différentes.   Matériel autorisé: feuille aide mémoire A4 recto     

Première partie (10 points)

1°) Calculer les intégrales suivantes: I= 24xx I xd 1 Y Z X 1 1+3 (x+1)−x 2 +2x+3 2 = X Y Z 1 2 x 3 2 + +2x 2 + + x  x d       2°) On considère le domaine plan (D) défini par: T S 0 R 0≤ ≤ y x ≤ ≤ atxcrA 1   n .   On fait tourner (D) autour de l'axe (Oy). Déterminer le volume du solide ainsi construit.         3°) Soit les fonctionsϕet g définies par:∀x∈R * + ϕ(x)= X Z Y x 1 1 ln + td t t ∀x∈R * + g(t)= 1 ln +  . t t a) Calculerϕ' et dresser le tableau de variations deϕ. b) Remplissage du tableau de variations: Déterminer un équivalent en +∞de g(t), et en déduire la limite deϕen +∞.                        - - - - - - - - 0 +  - - que - -de -ϕa une limite en 0 + . c) En admettant que limϕ =0,82±0,01, terminer le x→0 + tableau de variations et tracer la courbe représentative deϕ. (On pourra librement utiliser la courbe représentative de la fonction g ci-contre).          

4°)

   

Seconde partie (10 points + 3 points 4°) d) et e) )

x On considère la fonction f définie par∀ x ∈ R f (x) = c e +1 2 . h   e x

a) Calculer les primitives de f. Sur quels intervalles sont-elles définies ? b) Déterminer les primitives F 1 et F 2  Ftelles que 1 (0)=e 1 2 Ft 2 (0)= − 2 1   . c) En déduire  I α = 0 α z  puis sa limite quand , f (x) dx αtend vers l'infini. Existe-t-il une valeur deαtelle que I α = 0,2 ? Si oui, déterminer une valeur exacte deα.   Questions un peu plus difficiles hors barème β z ( ∈R. d) Calculer J   β =x f x) dx en fonction dβe o e) Détermine l x→∞ r i   m x 3 f (x) et → − ∞x lim x 3 f (x) . En déduire la convergence de l'inté − ∞ g z ∞ r x al f e (   x) dx , puis les valeurs numériques β − z β x f dx x) puis −∞ ∞ x z ( β l → ∞   i d m e ( f dx x)         

5°) Sachant que la fonction y 0 = λe −2 x ,λ ∈ solution de l'équation différentielle (ER est o ) y' + 2y = 0, déterminer les solutions des équations différentielles: (E 1 ) y'+2y=x+4 (E 2 ) y'+2y=sin x       6°) Soit les équations différentielles: b E c 1 g + e x y' h − y = e 2 x − 1 et b E 0 1 cg + e x y' h − y = 0 . a) Déterminer la solution générale y o de (E o  = 0,5), puis la solution F vérifiant F(0) . b) Tracer sommairement la courbe représentative de cette fonction F. c) Résoudre l'équation (E).                 Au royaume des aveugles, les borgnes sont rois.

Proverbe international

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