[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Intégration sur un intervalle quelconque Intégrabilité Exercice 1[ 00657 ][correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : 1 a)Z0(1−dtt)√t b)Z0+∞t2+lnt1 dt c)Z+0∞ln(t)e−tdt Z+0∞ln(t13+2td)t d) e+∞ln(1 +t2) )Z−∞1 +t2dt 1 f)Z0+∞sit2dt n Exercice 2[ 00658 ][correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réelsaetb pour que les intégrales suivantes existent : a)Z1+∞dt ta(t−1)b b)Z0+∞1t+atbdt −t c)Z+0∞1ta+etbdt
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Enoncés Exercice 3[ 00659 ][correction] [Intégrales de Bertrand] Pourα β∈Ron étudie la nature de l’intégrale Z+e∞dl(ntt)β tα a) On supposeα >1. Montrer que l’intégrale étudiée converge. b) On supposeα= 1. Calculer Zxtnl(dtt)β e et déterminer pour quelsβ∈Rl’intégrale étudiée converge. c) On supposeα <1, en exploitant t −−−−→+∞ tα(lnt)βt→+∞ établir que l’intégrale étudiée diverge. Exercice 4[ 00660 ][correction] Condition nécessaire et suffisante surα∈Rpour queR+0∞t−tsαintdtexiste. Exercice 5[ 00661 ][correction] Montrer que les fonctionst7→sintett7→sitntne sont pas intégrables sur[0+∞[. Exercice 6[ 00663 ][correction] Soitf:R+→Rune fonction continue, décroissante et intégrable surR+. a) Montrer queftend vers zéro en+∞. b) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonctionf continue et intégrable surR+telle quefne tend pas vers zéro en+∞. Exercice 7[ 03231 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux. On suppose quefest intégrable. Montrer x+1 Zx x−→−−+−∞→0 f(t) dt
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Exercice 8[ 03232 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante. On suppose quefest intégrable. Montrer xf(x)x−→−−+−∞→0 Exercice 9[ 03238 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable. Montrer qu’il existe une suite(xn)de réels positifs vérifiant xn→+∞etxnf(xn)→0
Exercice 10[ 00662 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rde classeC1. On suppose quefetf0sont intégrables sur [0+∞[. Montrer queftend vers 0 en+∞. Exercice 11[ 00664 ][correction] Soita∈]01[. Déterminer la nature de la sériePa√n. n>0 Exercice 12[ 00665 ][correction] Soitu:R→Rune fonction de classeC1telle que Z−+∞∞(1 +x2)u(x)2+u0(x)2dx <+∞ a) Déterminer les limites dex7→xu(x)2en±∞. b) Etablir Z−+∞∞u0(x)2dxZ−+∞∞x2u(x)2dx>41Z−+∞∞u(x)2dx2 Exercice 13[ 02349 ][correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : a)Z+0∞t1e+−t√2tdtb)Z10pln(1−tt)3dtc)Z+0∞etdt −1 +∞ d)t+ 2−pt2+ 4t+ 1dt Z0∞e−(lnt)2dte)Z0+∞e−tarctantdtf)Z+0
Enoncés
Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02829 ][correction] Donner un exemple def∈ C0(R+R+)intégrable et non bornée.
Exercice 15X MP[ 03053 ][correction] Soitf∈ C2(RR)telle quefetf00sont de carrés intégrables. a) Montrer quef0est de carré intégrable. b) Montrer : ZRf0226ZRf2 ZRf002
Exercice 16Mines-Ponts PC[ 00183 ][correction] Etudier l’intégrabilité en 0 de x →Z1ettdt f:x7
Exercice 17Centrale PC[ 00572 ][correction] Soitf∈ C2([0+∞[R). On suppose quefetf00sont intégrables. a) Montrer quef0(x)→0quandx→+∞. b) Montrer queff0est intégrable.
Enoncés Exercice 23[ 00669 ][correction] a) Etablir + I=Z0∞x3+dx1 =Z0+∞x3x d+ 1x b) En déduire la valeur deI. Exercice 24[ 00670 ][correction] a) CalculerJ=R0+∞1t+dtt4. b) EtablirI=R0+∞+1dtt4=R+∞t2dt 0 1+t4. c) En factorisant1 +t4déterminerI. Exercice 25[ 00671 ][correction] Calculer Z01ln(1x−2x2)dx Exercice 26[ 00672 ][correction] a) Justifier l’existence de I=Z10tln−t1dt b) Etablir IZ+∞e−x−2x =−edx 0x c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer I= lεimZε2εex−xdx →0 puis donner la valeur deI. Exercice 27[ 00673 ][correction] [Intégrales d’Euler] On pose π2 I=Z0π2ln(sint)dtetJ=Zln(cost)dt 0 Montrer queIetJsont bien définies et queI=J. CalculerI+Jet en déduire les valeurs deIetJ.
Exercice 34Centrale MP[ 02446 ][correction] a) Soitf∈ C1([a b]R). Limite de(Rbaf(t) sin(nt) dt)et(Rbaf(t) cos(nt) dt)? b) Calculer, pourn∈N?, π2sin(2nt) costdt Z0sint (on procédera par récurrence) c) En déduire +∞sintdt Z0t d) Etudier la limite puis un équivalent de Z0π2ln(2 sin(t2)) cos(nt) dt!
Exercice 35Mines-Ponts MP[ 02824 ][correction] Existence et calcul deR0π2√tanθdθ.
Exercice 36Mines-Ponts MP[ 02825 ][correction] Existence et calcul éventuel de Z−+∞∞1 + (t1+ib)2dt
Exercice 37Mines-Ponts MP[ 02879 ][correction] a) Nature de l’intégrale +∞sintdt Z0t
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On pose pour tout réelx ∞ f(x) =Z+sitntdt x b) Montrer quefest de classeC1surRet exprimer sa dérivée. c) Calculer Z0+∞f(t) dt Exercice 38X MP[ 02965 ][correction] Calculer tpx Z01pxd1(x−x)eZ1(1−x) dx 0
Exercice 39X MP[ 02968 ][correction] SoientPetQdansR[X], oùQne s’annule pas surRetdegP6degQ−2. ExprimerRRP Ql’aide des coefficients intervenant dans la décomposition enà éléments simple deP Q. Exercice 40X MP[ 02978 ][correction] Soitf:C(RR)intégrable. On pose g:x∈R?7→f(x−1x) Montrer quegest intégrable surR−?etR+?et que Z−0∞g(x) dx+Z0+∞g(xZ−+∞ ) dx=f(x) dx ∞ Exercice 41X MP[ 01333 ][correction] Calculer Z+∞dx −∞1 +x4+x8 Exercice 42Centrale PC[ 00525 ][correction] Justifier l’existence et calculer +∞ IZ0 =t[1t] dt
Enoncés
Exercice 43[ 03177 ][correction] Calculer I=Z11 +t24dt 01 +t en procédant au changement de variablet= e−x .
Exercice 44[ 03222 ][correction] Pour >a b0, calculer +dt I(a b) =Z∞−∞(t2+a2)(t2+b2)
Exercice 45[ 03237 ][correction] Justifier et calculer Z−+∞dt ∞(1 +t2)(1 +it) Calcul d’intégrales dépendant d’un paramètre Exercice 46[ 00678 ][correction] Calculer, pourn∈N, + In=Z0∞tne−tdt Exercice 47[ 00679 ][correction] Existence et calcul pourn∈Nde dx InZ+0∞(1 +x2)n+1 =
Exercice 50[ 00682 ][correction] dx On poseJn=R0+∞(1+x3)n+1. a) CalculerJ0. b) Former une relation de récurrence engageantJnetJn+1. c) Etablir qu’il existeA >0tel queJn∼3√An.
Enoncés
Exercice 51[ 00683 ][correction] Existence et valeur poura >0de I(a) =Z+0∞sin(t)e−atdt Exercice 52[ 00684 ][correction] Poura >0, calculerI(a) =R0+∞al2n+tt2dtvia le changement de variableu=at. Exercice 53[ 00685 ][correction] Pour quelles valeurs dea∈R, l’intégrale I(a) =Z0+∞(1 +t2()dt1 +ta) est-elle définie ? En procédant au changement de variableu= 1t, montrer queI(a) =π4.
Exercice 54[ 00686 ][correction] Soitfune fonction continue et croissante surRtelle quexl→i+m∞f(x) =`. a) Poura >0, montrer que l’intégraleR+0∞f(x+a)−f(x) dxest définie et la calculer. b) CalculerR+∞arctan(x+a)−arctan(x) dx. −∞
Exercice 56Mines-Ponts MP[ 02827 ][correction] Trouver une expression simple de Z0π(1−2xcost+xs2n)(i21t−2ycost+y2) dt oùx y∈]−11[. Fonctions définies par intégrale Exercice 57[ 00687 ][correction] [FonctionΓd’Euler] Pourx >0on note Γ(x) =Z+∞dt tx−1e−t 0 a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour toutx >0. b) Justifier ∀x >1Γ(x) = (x−1)Γ(x−1) et calculerΓ(n)pourn∈N?.
Exercice 58[ 00688 ][correction] On pose pourf(a) =R+1∞tad+t1. a) Pour quelles valeurs dea, l’intégrale définissantf(a)existe-t-elle ? b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en+∞. Exercice 59[ 00689 ][correction] a) Pour quelles valeurs dex, l’intégrale f(x) =Z01t1x+−1tdt
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est-elle définie ? b) Etudier la monotonie def. c) Calculer f(x) +f(x+ 1)pourx >0 d) Déterminer la limite defen+∞ainsi qu’un équivalent. e) Déterminer la limite defen0+ainsi qu’un équivalent. Exercice 60[ 00690 ][correction] Pourx >0, on pose ∞ F(x) =Z+et−tdt x a) Montrer queF(x)est bien définie pour toutx >0. b) Etablir queFest de classeC1surR+?et calculerF0(x). c) Montrer limxF(x) = 0etxl→i0m+xF(x) = 0 x→+∞ d) Sans exprimerF(x), montrer queR+0∞F(x) dxest bien définie et calculer celle-ci. Exercice 61[ 00691 ][correction] x On pose, pourx >0 f(x) =R0xeit2dt=R0xcost2dt+iR0sint2dt. 2 a) Montrer que :f(x) =eix2ix+2iR0xeitt22−1dt. −1 1 En déduire quefadmet une limite notéeλen+∞. b) On poseg(x) =λ−f(x). Montrer que pourx >0: g(x) =21iRx+∞eitt22dteix2. − 2ix c) Montrer qu’au voisinage de+∞:g(x) =−e2iixx2+Ox13. Exercice 62[ 00692 ][correction] Soitϕ:R+→Rune fonction de classeC1intégrable. a) SoitA >0. Montrer Z0Aϕ(t) cos(xt) dtx−→−−+−∞→0 b) Montrer Z+∞ ϕ(t) cos(xt) dtx−→−+−−∞→0 0
Enoncés
Exercice 63[ 00693 ][correction] Soitg:R+→Rcontinue et intégrable. a) Justifier :∀ε >0∃M∈RR+0∞|g(t)|dt−R0M|g(t)|dt6ε. b) En déduire que toute primitive degest uniformément continue. Exercice 64[ 00281 ][correction] Pour toutx∈[1+∞[, on pose F(x) =xt Z1√t3−1dt a) Montrer queFest bien définie, continue sur[1+∞[et de classeC∞sur ]1+∞[. ExprimerF0(x). b) Etudier la dérivabilité deFen1. Préciser la tangente au graphe deFen1. c) Etudier la limite deFen+∞. d) Justifier queFréalise une bijection de[1+∞[sur un intervalle à préciser et queF−1est dérivable sur]0+∞[et solution de l’équation différentielle yy0=py3−1. e) Etudier la dérivabilité deF−1en0.
Intégrales convergentes Exercice 65[ 02346 ][correction] [Intégrale de Dirichlet] Justifier la convergence de l’intégrale suivante : Z+0∞sitntdt Exercice 66[ 02383 ][correction] Etablir : Z+0∞sitntdt=Z+0∞sitnt2dt Exercice 67[ 00694 ][correction] [Intégrales de Fresnel] Montrer la convergence des deux intégrales suivantes Z+∞cos(t2) dtetZ+0∞sin(t2) dt 0
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Exercice 68[ 00695 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue. On suppose que l’intégrale suivante converge : Z+∞f(t) dt 0 xl→im+1xZx tf(t) dt ∞0
Exercice 70[ 00696 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue. On suppose que pours0∈R,R0+∞f(t)e−s0tdtconverge. Montrer queR0+∞f(t)e−stdtconverge pour touts > s0.
Exercice 71Mines-Ponts MP[ 02421 ][correction] Convergence de Z+∞eit2dt −∞
Exercice 72[ 03178 ][correction] Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale Z0+∞ f(t) sin(t) dt