ISC 1999 mathematiques classe prepa hec (ect)

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ISC 1999 Option technologiqueExercice 1   −2 2 −3 1 0 0   Soient A = 3 −7 9 et I = 0 1 02 −4 5 0 0 11.2 2(a) Calculer A , puis d´eterminer a et b tels que A =aA+bI.−1(b) En d´eduire que la matrice A est inversible et exprimer son inverse A en fonction de A et I, puis−1calculer A .−2x+2y−3z = 2−1(c) Utiliser le calcul de A pour r´esoudre le syst`eme 3x−7y +9z = 02x−4y +5z =−22. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n, on a :n n n nA = (−1) [(1−2 )A+(2−2 )I].Exercice 2−uOn rappelle que pour tout u r´eel, expu =e .1. On d´efinit les deux fonctions φ et ψ surR par :+1−u −u 2φ(u) =e −1+u et ψ(u) =e −1+u− u .2(a) Etudier les variations de la fonction φ sur R , construire son tableau de variations, et en d´eduire le+signe de φ surR .+0(b) Montrer que pour tout r´eelu deR ,ψ (u) =−φ(u). en d´eduire les variations de la fonctionψ surR ,+ +construire son tableau de variations, et en d´eduire le signe de ψ surR .+(c) A partir de l’´etude faite en a) et b), montrer que pour tout r´eel u positif ou nul on a :1−u 21−u6e 6 1−u+ u .22. Pour n entier naturel non nul, on d´efinit sur [0,1] la fonction f par :n2x 2− xnf (x) =e exp −nn1Zet on pose I = f (x)dx.n n0(a) En utilisant la double in´egalit´e obtenue a` la partie I c) , montrer que, pour tout x de [0,1], on a :2 2 4x x x1− 6f (x)6 1− + .n 2n n 2nEn d´eduire en fonction de n un encadrement de I .n(b) Montrer que la suite (I ) est convergente et pr´eciser sa ...

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Extrait

ISC 1999 Option technologique

Exercice 1    −2 2−3 10 0    SoientA= 3−7 9etI1 0= 0 2−0 0 14 5 1. 2 2 (a) CalculerAeretd´isrnemi,upaetbtels queA=aA+bI. −1 (b)Ende´duirequelamatriceAest inversible et exprimer son inverseAen fonction deAetI, puis −1 calculerA.   −2x+ 2y−3z= 2 −1 (c) Utiliserle calcul deA 3 edsrro´ueusreplot`yseem x−7y+ 9z= 0  2x−4y+ 5z=−2 2.D´emontrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : n nn n A= (−1) [(1−2 )A+ (2−2 )I].

Exercice 2 −u On rappelle que pour toutu,lxep´reeu=e. 1.Ond´efinitlesdeuxfonctionsφetψsurR + par : 1 −u−u2 φ(u) =e−1 +uetψ(u) =e−1 +u−u . 2 (a) Etudierles variations de la fonctionφsurR + on,cesirrustaelbatnoairavedutions,etend´eduierel signe deφsurR + . 0 (b)Montrerquepourtoutre´eludeR + ,ψ(u) =−φ(uoitcnofaledsnoitn.)nearialesvuired´edψsurR + , construiresontableaudevariations,etend´eduirelesignedeψsurR + . (c)Apartirdel’e´tudefaiteena)etb),montrerquepourtoutr´eelupositif ou nul on a : 1 −u2 1−u6e61−u+u . 2 2. Pournnfitius[r0urelnonnul,ond´eeeitntanr,1] la fonctionf n par : 2 x   2 x − f n (x) = e n exp− n 1 Z et on poseI n =f n (x)dx. 0 (a)Enutilisantladoubleine´galite´obtenue`alapartie Ic) , montrer que, pour toutxde [0,1], on a : 2 24 x xx 1−6f n (x)61−+. 2 n n2n Ende´duireenfonctiondenun encadrement deI n . (b) Montrerque la suite (I n ) n>1 srlamiti.eveontcesesice´rpteetnegr (c) Enutilisant l’encadrement deI n obtenu en b), donner un encadrement den(I n −1), puis montrer que la suite (n(I n −.etirsseimalpretci´e))1ontcesteenrgve n>1

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