ISFA 2006 2eme epreuve de mathematiques option b

Parties de pokerCe sujet aborde de mani`ere tr`es simplifi´ee des questions de probabilit´es ins-pir´ees de situations li´ees a` des parties de poker. N´eanmoins, aucune connais-sance de ce jeu de cartes n’est n´ecessaire, et toutes les questions se traitentavec les outils du programme. Les trois parties de ce probl`eme sontind´ependantes.1 Notations, d´efinitions et r`egle du jeuLors de certains tournois de poker (du type Texas Hold’em), chaquejoueur dispose de deux cartes, connues de lui seul. Au milieu de la table sontsuccessivementd´evoil´ees(`alaconditionqu’aumoinsdeuxjoueursn’aientpasencoreabandonn´e)cinqcartes:d’abordleflop,constitu´edetroiscartes,puisla quatri`eme carte (appel´ee turn), et enfin la derni`ere carte appel´ee river. Lamain d´efinitive d’un joueur est la meilleure main de cinq cartes parmi septcartes (les deux siennes plus les cinq communes sur la table). Le jeu de cartesest un jeu de 52 cartes (13 cartes de chaque couleur (tr`efle, carreau, coeur,pique)), et il est m´elang´e apr`es chaque donne. Il reste trois joueurs autourde la table : Nicolas, Didier et Alexis. On suppose que tous les tirages sont´equiprobables. Dans une donne, les tirages sont ind´ependants et sans remise.2 Mains de poker1. Lors de la premi`ere donne, Alexis a Roi de Coeur et Dame de Pique,Didier a Valet de Coeur et Valet de Tr`efle, Nicolas a Dix de Tr`efle etDeux de Tr`efle. Le flop (trois premi`eres cartes communes) est constitu´ede As de Pique, Dix de Pique, et ...