L3 Math Algèbre et Arithmétique Corrigé de l'épreuve du avril

Description

Niveau: Supérieur
L3 Math 2011 : Algèbre et Arithmétique Corrigé de l'épreuve du 15 avril 2011 I. Considérons les applications linéaires de R-espaces vectoriels sn : Mn(R) ? Mn(R) A 7? A? tA (a) Pour n = 2 quelle est la dimension du conoyau de s2 ? Par définition le conoyau de sn est l'espace vectoriel quotient Mn(R) image sn . Pour un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie F ? E, la dimension de l'espace quotient est donnée par dimE/F = dimE ? dimF. Donc on a dim coker s2 = dimM2(R)?dim image s2. Les membres ( a b c d ) de M2(R) dépendent linéairement de 4 coefficients indépendants : a, b, c, d. ? Donc la dimen- sion de M2(R) est 4. L'application s2 envoye A = ( a b c d ) en A? tA = ( a b c d ) ? ( a c b d ) = ( 0 b? c c? b 0 ) = (b? c) ( 0 1 ?1 0 ) . † Donc l'image de s2 est de dimension 1 avec base ( 0 1 ?1 0 ) .

• espaces vectoriels de dimension finie


• n2?n coefficients


• dimension de l'espace quotient


• anneau commutatif pour les opérations d'addition et de multiplication de fonc- tions


• bnxn ?


• addition

Sujets

• Addition

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

L3 Math 2011 : AlgÈbre et ArithmÉtique CorrigÉ de l’Épreuve du 15 avril 2011

I.ConsidÉrons les applications linÉaires deR-espaces vectoriels s n :M n (R)→M n (R) t A7→A−A (a)Pourn= 2quelle est la dimension du conoyau des 2 ? M n (R) Par dÉfinition le conoyau des n .est l’espace vectoriel quotient images n Pour un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finieF⊂E, la dimension de l’espace quotient est donnÉe par dimE/F= dimE−dimF.   a b Donc on adim cokers 2 = dimM 2 (R)−dim images 2 . Les membresdeM 2 (R) c d ∗ dÉpendent linÉairement de4coefficients indÉpendants :a, b, c, dla dimen-. Donc   a b sion deM 2 (R)est4. L’applications 2 envoyeA=en c d      t a ba c0b−c0 1 † A−A=−= =(b−c). c db dc−b0−1 0   0 1 Donc l’image de. On conclut : s 2 est de dimension1avec base −1 0 dim cokers 2 = dimM 2 (R)−dim images 2 = 4−1 = 3. (b)Quelle est la dimension du conoyau des n pourn≥1gÉnÉral ? On a dim cokers n = dimM n (R)−dim images n . Mais on a un isomorphisme

M n (R) ∼ = images n kers n et donc une Équation dim images n =M n (R)−dim kers n . En substituant on trouve   dim cokers n = dimM n (R)−dimM n (R)−dim kers n = dimM n (R)−dimM n (R) + dim kers n = dimkers n . a b 0 0 ∗sont. IlsindÉpendantsparce qu’on a( )= ()seulement quanda=b=c=d= 0. ` ´ c d 0 0 0b−c 0 0 †que. Noter)= (n’implique pasb=c= 0. Donc les2paramÈtresbetcsontdÉpendants. On c−b 00 0 a1seul paramÈtre indÉpendant, qui estb−c.