Les systèmes linéaires bouclés

Alain Robichon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
SYSTÈMES BOUCLÉS. Page 1 sur 9 COMMANDES D'UN SYSTÈME ; FONCTION DE TRANSFERT D'UN SYSTÈME LINÉAIRE BOUCLÉ. I : Structure d'un système asservi linéaire. 1°) Schéma fonctionnel d'un système bouclé. Un système est dit bouclé dès lors que l'on prend en compte en permanence l'état réel du système, observé à sa sortie. On adapte alors l'entrée en fonction de la grandeur mesurée. Un capteur donne une image de la sortie que l'on doit comparer à la grandeur de consigne. ? Étude d'un exemple : commande du niveau dans un bac : Commande en boucle ouverte: Ceci est une commande en boucle ouverte qui ne permet pas de régler précisément le ni- veau de sortie et corriger l'effet des perturbations. Commande en boucle fermée: Pour régler le niveau il faut agir sur l'organe de réglage (la vanne) en fonction de l'écart entre la valeur désirée et la valeur réelle: ? Éléments constitutifs d'un système bouclé : L'exemple précédent permet de dégager quelques éléments généraux communs à tout sys- tème bouclé : o Les capteurs : leur rôle est de transformer une grandeur physique quelconque (le mesurande) en une grandeur électrique (charge, tension, courant ou impédance). o Les actionneurs : ils constituent la chaîne directe. Ce sont des organes de puissance qui commandent directement les systèmes à asservir ou à réguler.

• système linéaire


• signal de commande


• grandeur


• sortie


• agir sur la grandeur réglante par l'intermédiaire


• rétroaction


• chaîne retour

Sujets

• Système linéaire
• Grandeur
• Sortie
• Rétroaction
• bac

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• Langue: Français

Extrait

SYSTÈMES BOUCLÉS.

COMMANDES D’UN SYSTÈME ; FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTÈME LINÉAIRE BOUCLÉ.

I : Structure d’un système asservi linéaire. 1°) Schéma fonctionnel d’un système bouclé.  Un système est dit bouclé dès lors que l’on prend en compte en permanence l’état réel du système, observé à sa sortie. On adapte alors l’entrée en fonction de la grandeur mesurée. Un capteur donne une image de la sortie que l’on doit comparer à la grandeur de consigne. ¾Étude d’un exemple : commande du niveau dans un bac : Commande en boucle ouverte:

Ceci est une commande en boucle ouverte qui nepermet pas de régler précisément le ni- veaude sortie et corriger l'effet des perturbations. Commande en boucle fermée: Pour régler le niveau il faut agir sur l'organe de réglage (la vanne) en fonction de l’écart entre la valeur désirée et la valeur réelle:

¾Éléments constitutifs d’un système bouclé :  L’exemple précédent permet de dégager quelques éléments généraux communs à tout sys- tème bouclé : oLes capteurs: leur rôle est de transformer une grandeur physique quelconque (le mesurande) en une grandeur électrique (charge, tension, courant ou impédance). oLes actionneurs: ils constituent la chaîne directe. Ce sont des organes de puissance qui commandent directement les systèmes à asservir ou à réguler. oLes organes de traitement de l’information: ces organes, qui travaillent à faible ou moyenne puissance, ont pour rôle de traiter les informations fournies par les cap- teurs. Il peut s’agir par exemple d’amplificateurs, ou de systèmes prenant en compte une perturbation, … Un de ces organes se retrouve dans la structure de tout système bouclé :  il s’agit ducomparateur, ou soustracteur, qui élaborel’écart(ou l’erreur).

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SYSTÈMES BOUCLÉS.

¾Structure générale d’un système asservi : Un système asservi est un système àboucle fermée(closed loop system, followed system)que l'on peut décrire par leschéma généralsuivant :

chaîne de puissance

comparateur D(p) E(p) ε(p) contrôle, + régulation,… - consigne écart

mesure M(p)

R(p)

capteur

Z(p) perturbation

Processus, S(p) fonction, action,… sortie

chaîne de retour ou de contre réaction (faible puissance)  On note :D(p)la fonction de transfert de lachaîne directe(chaîne de puissance contenant amplificateurs et actionneurs, assurant le processus ou la fonction du système), R(p)la fonction de transfert de lachaîne de retour, ou de rétroaction.  On désigne par : e(t), le signal d’entrée ouconsigne, et son image complexeE(p), ε(t) l’écartou l’erreur, et son image complexeε(p),  s(t) le signal de sortie, et son image complexeS(p),  m(t), lesignal de mesure(en sortie de la chaîne de retour, réinjecté au niveau du comparateur), et son image complexeM(p), ¾Schémas fonctionnels d’un système bouclé linéaire.  Un système bouclé linéaire est un dispositif à chaîne retour ne comprenant que des opéra- teurs linéaires et invariants dans le temps.  Différent schémas fonctionnels sont envisageables, compte tenu du système bouclé étudié. oSchéma fonctionnel asservisse- Fonction asservissement sans erturbation ment (sans perturbations) : (p) E(p) + S(p) Un système asservi est dit « suiveur » : c’est la D(p) consigne qui varie et la sortie (ou grandeur ré- - glée) devra suivre rapidement les variations de M(p) la consigne. R(p) oSchéma fonctionnel asservisse- Z(p) ment, avec perturbation : + S(p) ε(p) E(p) + + Laprésence de défauts dans les composants D (p) D (p) 1 2 ou d’influences parasites dues à la présence de - systèmes voisins peut se modéliser par M(p) R(p) l’introduction d’une perturbation dans le schéma fonctionnel d’un système asservi : Fonction asservissement avec erturbation

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La mesure (rétroaction) :

D( p ) = -Fonction de transfert en boucle fermée: )FTBF( p 1+).R( p )D( p E( p ) T ( p )=1+D( p )R( p ) - Taux de «contre-réaction» : CR . C’est le rapport : T C ( p R )= . ε)( p = - Un système est dità retour unitairesi ( p )1 .

La chaîne directe est une chaîne de puissance.

Quand la boucle est ouverte, on a :

D( p ) S=  Quand la boucle est fermé, on a : BF ( p ) E( p ) . 1+)).R( p D( p On appelle :  -Fonction de transfert de la chaîne directe: p )FT ( =)D( p ,

= FTBO( p ) D( p )R( p ) .

La sortie :

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-Fonction de transfert en boucle ouverte:

SYSTÈMES BOUCLÉS. oSchéma fonctionnel régulation :  Dans ce cas, la consigne est fixée et on s'attachera à maintenir constante la sortie (grandeur réglée) d'un système soumis à des perturbations.  Pour réguler un système physique, il faut : - Mesurerla grandeur réglée avec un capteur.Réfléchirsur l'attitude à suivre : c'est la fonction du régulateur. Le régulateur compare la grandeur réglée avec la consigne et élabore le signal de commande. - Agirsur la grandeur réglante par l'intermédiaire d'un organe de réglage. On peut re résenter une ré ulation de la manière suivante :

2°) Fonctions de transfert d’un système bouclé linéaire.  Raisonnons sur le schéma fonctionnel de base S stème asservi linéaire ci-contre. En régime harmonique, on peut écrire : ε(p) E(p) + S(p) cart : ( p p )) E(  L’é = −M ( p ) , D(p)

Usuellement, on a : D( p )1 , soit )FTBO( p 1

= p )S ( =D( p ).E( p ) ( p )0 . Alors : BO .

( p )=R( p )).S( p

R(p)

- M(p)

S( p )=p )D( p ). ( ,

SYSTÈMES BOUCLÉS. 3°) Réalisation pratique de la rétroaction. ¾Principe : i i On prélève la grandeur de sortie. e s On soustrait la grandeur de mesure (ou de retour) à la grandeur u u e s d’entrée. Les chaînes sont modélisées par des quadripôles, orientés en convention récepteur (cf figure ci-dessus). ¾Prélèvement de la grandeur de sortie (lien avec la chaîne de retour) :

Prélèvement detension:

association enparallèle.

Prélèvement decourant:

association ensérie.

u s

i s

¾Prélèvement de la grandeur d’entrée (réalisation du comparateur) :

Prélèvement detension:

association ensérie.

Prélèvement decourant:

association enparallèle.

u e

i e

m(t)

(t)

m(t)

m(t)

u s

i s

II : Performances dynamiques. 1°) Les avantages de la rétroaction. ¾Sensibilité aux variations du système : Dans le cas d’une chaîne d’action à grand gain :D( p )1. D( p ) 1 ≈ Or on aFTBF( p )=, soit dans ce cas )FTBF( p . 1+ p )) ( ).R( p D( p Le système bouclé se comporte donc comme un système en boucle ouverte dont la fonction de transfertne dépend que des caractéristiques de la chaîne de retour. Ainsi, les défauts de la chaîne directe (décala es, dérives) sont sans effet sur le système bouclé.

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SYSTÈMES BOUCLÉS. Conclusion : La randeur de sortie d’un s stème bouclé est eu sensible aux variations de la fonction de transfert de l’actionneur (ou chaîne directe de puissance). En revanche, elle est très sensible aux variations de la fonction de transfert de la chaîne de retour, qui doit donc être une chaîne de précision. ¾Influence d’une perturbation. Z(p) Envisageons le schéma fonctionnel d’un sys- ε(p) = -M(p) + tème de régulation, avec une perturbation no- S(p) + + D (p) D (p) tée Z(p) et une consigne d’entrée nulle. 1 2 En boucle fermée, on a les équations : - M(p) p )S ( =).D ( p [ Z( p )+D ( p ). ( p ) F2 1 R(p) ε( p )= −M ( p ) R( p )  et )( p =.S F )( p . D ( p ) 2 S ( p Il vient : F )=)Z( p . 1+( p )D ( p )D R( p ) 1 2 1 Dans le cas usuel oùD ( p )1etD ( p )1(p) s’écrit :, S S ( p )≈Z( p ) . F 1 2 F D ( p )R( p ) 1 ( p )=D ( p ).Z( p ) Pour le système en boucle ouverte, la sortie variait avec Z suivant :S 0 2 . Ainsi, la rétroaction atténue considérablement l’effet d’une perturbation ex- terne sur le système bouclé. ¾Stabilité du système bouclé. D( p ) On a établi la fonction de transfert d’un système bouclé :FTBF( p )=. 1+)D( p ).R( p D’après les critères de stabilité d’un système linéaire déjà vus, on en déduit : Pour u’un s stème bouclé soit stable, il est nécessaire ue les zéros du T ( p )= +)D( p )R( p taux de contre-réaction CR 1 à partie réelle stricte- soient ment négative. er 2°) Cas d’un actionneur du 1 ordre et d’une chaîne de retour réelle. ¾Aspect fréquentiel. D 0 = On considère une chaîne directe du premier ordre : D(p) , de type passe-bas de 1+ ω 0 bande passante [0 ;ω.] et d’amplification statique D 0 0 La fonction de transfert de la chaîne de retour est supposée réelle et constante : (p)R 0 .  On établit que : H 0 = La fonction de transfert du système bouclé s’écrit FTBF( p ) , p 1+ ω c er transmittance caractéristi ue d’un filtre asse-bas du 1 ordre, d’am lification D 0 ω= +ω = nte [0 ;ωec ( 1D R ) . statique H 0 et de bande passa c ], av c 0 0 0 1+D R 0 0

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SYSTÈMES BOUCLÉS.

¾Produit « gain bande » ou facteur de mérite : On appelle « produit gain bande » ou « facteur de mérite », noté F d’un m système linéaire le produit de son amplification maximale par sa bande pas- sante (en Hertz) :remier ordre, le facteurour une chaîne d’action du de mérite du s stème bouclé est le même ue celui de sa chaîne ω ω 0c F D d’action: m = 0 =H 0 . 2 2π H  La rétroaction, en diminuant fortement le gain (puisque 0 D 0 ) permet uneaugmentation importante de la bande passante. ¾Aspect temporel. Les équations différentielles d’une chaîne d’action du premier ordre placé dans un système ⎧ ds +s(t)=Dε(t) ⎪ 0 0 1 τ= bouclé sur une chaîne de retour réelle s’écrivent : ⎨ dt , où 0  est la ω ⎪ 0 ε(t)=e(t)−R s(t) ⎩ 0 constante de temps de l’actionneur. Les signaux d’entrée et de sortie sont liés par l’équation différentielle : ds D 0 0 + = , si 1+D 0 R 0 ≠0 s(t)e(t) . 1+D R dt1+D R 0 0 0 0  La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre fait intervenir 0 τ= lanouvelle constante de temps du système bouclé: c . 1+D R 0 0 On retient : D’un oint de vue tem orel, la rétroaction ermet uneim-au mentation portante de la rapiditédu système. ¾Stabilité. La ré onse tem orelle montre ue le s stème bouclé est stable si τ 0 τ= >0>0 c , ce qui impose en pratique R 0 (car usuellem D ent 0  1 ). 1+D R 0 0 3°) Oscillateurs à rétroaction. ¾Principe de l’oscillateur.  Un oscillateur est un système délivrant un signal périodique en l’absence de grandeur de commande : )S( p ≠0)E( p , avec =0 .  Un oscillateur est constitué d’un amplificateur (chaîne directe) en rétroaction. La chaîne de retour est un filtre sélectif qui détermine la fréquence des oscillations. ¾Les différents types d’oscillateurs.  On distingue deux familles d’oscillateurs : oLes oscillateurs quasi sinusoïdaux: l’amplificateur est presque toujours en ré- gime linéaire. oLes oscillateurs non sinusoïdaux (ou à relaxation): l’amplificateur est presque toujours en saturation.

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SYSTÈMES BOUCLÉS. ¾Conditions d’oscillations. Dans un oscillateur à réaction, le compara- Oscillateur à réaction teur n’a plus guère d’intérêt et on peut ré- ε(p) S(p) D(p) écrire le schéma fonctionnel d’un système E(p) = 0 asservi sous la forme ci-contre, dans lequel l’association de la chaîne de retour et du M(p) comparateur est remplacé par la fonction R’(p) = − de transfert : ) R( '( p p ) : On a alors les équations : S( p )=).D( p ε( p ) ε)( p =p )M (  et p ).S( p )( p ) R'( . − = Qui conduisent à : [ 1p )) S( )R'( p D( p 0 .  Cette équation admet bien sûr la solution S(p) = 0, prévisible et sans intérêt, mais aussi : − =  On peut avoir )S( p 0 , à condition que : 1D( p )R'( p )0 . Cette condition suppose que le système soitinstable(car s’il était stable, le régime libre tendrait vers zéro).  Le système étant instable, on adeux possibilités: 1.le système évolue vers un état stable dans son domaine non linéaire : on observe alors une saturation permanente sans oscillations. 2.le système évolue vers son domaine non linéaire, sans état stable : il oscille. Conclusion : Un système bouclé se comporte enoscillateursi :

=).R'( p admet de - l’équation 1D( p ) racines à s parties réelles positives.

- ild’état stablen’existe as le domaine de fonctionnement non li- dans néaire. ¾Oscillations quasi sinusoïdales. On observe des oscillations sinusoïdales à la pulsation ω sous la condition,appelée condi- 0 tion de Barkhausen: D( jω 0 ).R'( jω 0 )=1 . Cette équation complexe conduit à deux équations réelles : ω+ω= ƒ arg [ D( j 0 ) arg [ R'( j 0 )0 , équation en ω  qui fixe la pulsation 0 des oscillations, ƒ D( jωj) . R'( ω)=1 0 0 , ω étant déterminé par l’équation précédente 0 donne la condition d’accrocha e des oscillations : on obtient ainsi une condi- tion sur le gain de la chaîne directe. ¾Critère pratique d’oscillation. La condition limiteD( jω 0 ) . R'( jω 0 )=1ne permet pas ne pratique l’amorçage des oscilla- tions. On aura apparition et entretient des oscillations pour : ƒ a j ) arg R'(0 , atio ω rg [ D(ω 0 + [ jω 0 )= nqui fixe la puls 0 , ƒ D( jω) . R'( jω)≥1 0 0 , qui conduit à l’entretien des oscillations.  La non linéarité de l’amplificateur limite l’amplitude des signaux lors de la saturation. ω ω seront quasi sinusoïdale j )D( j ) . R'( 1 .  Les oscillations s si 0 0

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SYSTÈMES BOUCLÉS. III : Pour en savoir plus. 1°) Effets d’une chaîne de retour réelle sur l’impédance d’entrée d’un système bouclé.  Envisageons le cas d’un comparateur de tension I (p) e (association en série) (voir figure ci-contre). S(p)  On désigne par Z l’impédance d’entrée de la e ε(p) Z (p) e chaîne directe, de fonction de transfert D(p).  La fonction de transfert de la chaîne de retour est E(p) (p)R S(p) supposée réelle : 0 . RS(p) 0  En boucle fermée, on a les équations : M(p) E( p )=ε)( p +M ( p )  ; ( p ) R 0 .S( p ) ( ) ( ) ( ) ε=Z e p I e p  ; )S( p =D( p ).ε( p ) E(p) Z'  On définit l’impédance d’entrée du système bouclé par : e = (p) e E( p ) Z ( p )I ( p )+R D( p p ))I ( )Z ( p  On obtient : e e0e e . '=Z+pR D )  D’où on tire : e e [ 1 0 ( . Conclusion : L’association ensérie, en entrée, des chaînes d’action et de retour au - '=Z [ 1+R D(p) mente l’impédance d’entrée du système bouclé : e e0 .

De même, on pourrait montrer que : L’association enarallèle, en entrée, des chaînes d’action et de retour di- Z e minue l’impédance d’entrée du système bouclé : Z' e = . 1+D(p) 0 2°) Effets d’une chaîne de retour réelle sur l’impédance de sortie d’un système bouclé.  Envisageons le cas d’une association en paral- D lèle en sortie (voir figure ci-contre). I I s u  On désigne par Z l’impédance de sortie de la + ε s I Z r s S chaîne directe, de fonction de transfert D(p). E=0 -  La chaîne d’action se comporte comme un généra- M teur de courant, de courant électromoteur égal à S D(p) ε (p).  La fonction de transfert de la chaîne de retour est supposée réelle :(p)=R 0 S(p). On calcule l’impédance de sortie du système bouclépour un signal d’entrée nul(E(p) = 0).  En boucle fermée, et pour E = 0, on a les équations : ( p ) R .S S(p)=Z(p)I(p)+D(p) ε (p) =I+I ( p )= −p )M (  ; = 0 )( p  ; s [ s ; u s r S(p) =  L’impédance de sortie de la chaîne directe s’écrit : Z s . (p) u

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S(p)  On définit l’impédance de sortie du sy : Z'= stème bouclé par s . (p) u On suppose la chaîne de retouridéale, c'est-à-dire qu’elle ne perturbe pas le signal de sor- tie S, ce qui revient à considérer l’impédance d’entrée de la chaîne de retour infinie. =  Donc I r 0 . Z s '=  On obtient : )S( p =Z s ( p ) [ I u ( p )−R 0 )S( p )D( p . D’où on tire : Z s . 1+D(p) 0 Conclusion : L’association enarallèle, en sortie, des chaînes d’action et de retour di- Z s '= minue l’impédance de sortie du système bouclé : Z s . 1+D(p) 0 De même, on pourrait montrer que : L’association ensérie, en sortie, des chaînes d’action et de retour au - '=Z1+R D(p) . mente l’impédance de sortie du système bouclé : s s [ 0

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