Master de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur
Master 2 de Mathematiques ENS de Lyon, universites de Lyon 1 et de St Etienne Annee 2008/2009 EXAMEN PARTIEL [jeudi 13 novembre 2008, 14h-16h] Dans les exercices qui suivent, les espaces localement compacts sont par definition separes. Si G est un groupe, on designe par 1G son element neutre. On dit qu'un groupe est de type fini s'il contient une partie finie qui l'engendre. Soient G un groupe topologique et H un sous-groupe de G. On rappelle qu'on dit que H est un sous-groupe discret de G si la topologie de H induite par celle de G est la topologie discrete. Si G est un groupe topologique localement compact, dg designe une mesure de Haar a gauche sur G. Dans l'exercice 1, on etudie les adherences de sous-groupes et les sous-groupes discrets d'un groupe topologique donne. Dans l'exercice 2, on etudie la convolution des fonctions sur un groupe localement compact donne. Dans l'exercice 3, on etudie une nouvelle fac¸on de decrire la topologie de l'espace de Chabauty d'un groupe localement compact donne. Les exercices sont independants. Cours : autorise. Appareils electroniques : inutiles, et donc pas autorises. Exercice 1 : adherence de sous-groupes. Soit G un groupe topologique. On se donne H un sous-groupe abstrait, c'est-a-dire non necessairement ferme, dans G.

• description de la topologie de chabauty


• anti-automorphisme d'ordre


• loi de convolution ?


• topologie separee sur ?


• compact donne


• ordre fini


• limite ? ?


• produit de convolution

Sujets

• Produit de convolution

Informations

• Publié par: zauj
• Publié le: 01 novembre 2008
• Nombre de lectures: 54
• Langue: Français

Extrait

Master2deMath´ematiques ´ ENSdeLyon,universit´esdeLyon1etdeStEtienne Ann´ee2008/2009

EXAMEN PARTIEL [jeudi 13 novembre 2008, 14h-16h]

Danslesexercicesquisuivent,lesespaceslocalementcompactssontpard´efinitions´epare´s.Si G1rapengise´,ondoupeungrest G edtsitnd’uqurongeeup´nos.Oreutnentme´eeltype finis’il contient une partie finie qui l’engendre.SoientGun groupe topologique etHun sous-groupe deG. Onrappelle qu’on dit queHest unsous-groupe discretdeGsi la topologie deHinduite par celle deGSie.etr`scdieigolopotaltseGest un groupe topologique localement compact, dgsuheucgardgneu´esiuserenemraa`edaHG. Dansl’exercice1,one´tudielesadh´erencesdesous-groupesetlessous-groupesdiscretsd’un groupetopologiquedonn´e.Dansl’exercice2,one´tudielaconvolutiondesfonctionssurun groupelocalementcompactdonne´.Dansl’exercice3,on´etudieunenouvellefac¸onded´ecrire latopologiedel’espacedeChabautyd’ungroupelocalementcompactdonne´.Lesexercices sontinde´pendants. Cours:autorise´. Appareils´electroniques:inutiles,etdoncpasautoris´es. Exercice1:adhe´rencedesous-groupes.SoitGun groupe topologique.On se donneH unsous-groupeabstrait,c’est-`a-direnonn´ecessairementferm´e,dansGnote. OnHeercnhde´la’ deHdansG. 1) Justifier que pour toush∈Hetg∈H, on agh∈H. 2)D´emontrerqueHest un sous-groupe deG. 3)Justifierquepourve´rifierqueHest un sous-groupe discret deG, il suffit de voir que 1 G estunpointisole´dansH. On suppose queGstseetdrescdi-srguoepenuΓsnuotonsedon´epar´eeG. 4)Justifierl’existenced’unvoisinageouvertdel’e´le´mentneutre1 G , disonsV, satisfaisant les −1 conditionsV=VetV.V∩Γ ={1 G }. 5)De´montrerquelesous-groupeΓestferme´dansG. On suppose queGetdreneeΓsutedonrtiosnasbm´leeteidcsuoep-srgsnuoG. Onsuppose −1 aussi que Γ est de type fini et que le centralisateurZ G (Γ) ={g∈Gtels quegγg=γpour toutγ∈Γ}est discret aussi. −1 6)D´emontrerquelenormalisateurN G (Γ) ={g∈Gtels quegΓg= Γ}est encore un sous- groupe discret deGnO.ruopniarodtrreuiepuntiarecriatern´´eegniefiSde Γ et pour chaque s∈Sjnguseoctidealuserersid´conesu´deseeme´dstndearels´pN G (Γ) qui tendent vers 1 G . 1