Mathématiques 1 2004 Classe Prepa PC Concours Centrale-Supélec

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Concours du Supérieur Concours Centrale-Supélec. Sujet de Mathématiques 1 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
• Concours Centrale-Supélec

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
• Nombre de lectures: 261
• Langue: Français

Extrait

MATHƒMATIQUES IFiliËre PC MATHƒMATIQUES I

n Dans tout le problËme, a=(a) dÈsigne une suite de complexes et a z n n ∈IN ∑ n la sÈrie entiËre associÈe, dont le rayon de convergence R est supposÈ non nul a et Þni. n On note C des complexes lÕensemble z module de R  telsque a z a a ∑ n est convergente. On appelle cercle unitÈ lÕensemble des complexes de module 1 : un complexe z appartient au cercle unitÈ si et seulement sÕil existe un rÈel x ‡ appartenant ix lÕintervalle I= ]Ðπ,π] tel que z=e . DÕautre part on note: 2πZZ={2kπk∈ZZ} , et [[p,q]] lÕensemble des dÈsigne entiers naturels k vÈriÞant : p≤k≤q . On Ètudie diffÈrentes sÈries entiËres pour lesquelles lÕensemble C prend diffÈ- a rentes formes. Dans le cas o˘ C est un cercle, on propose dÕobserver diffÈrents comportements a de la fonction somme de la sÈrie entiËre sur ce cercle.

Partie I - Calculs prÈliminaires Les rÈsultats de cette partie sont destinÈs ‡ prÈparer les dÈmonstrations des parties suivantes. I.A -Montrer les inÈgalitÈs : 2 ∀x∈[0,π],0≤sinx≤x et ∀x∈[0,πÚ2],sinx≥ - x . π I.B -Montrer que pour tout x  quiappartient ‡ IR\2πZZ  etpour tout couple dÕentiers naturels (  p,q) tel que p≤q : q ikx 1 e≤ . ∑ - x k=p   sin -   2 I.C -Soient (u) et (v) deux suites complexes. n * n * n∈INn∈IN

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MATHƒMATIQUES I

 

FiliËre PC

FiliËre PC

On note (V) la suite des sommes partielles de la sÈrie v : n * ∑ n n∈IN n≥1 n * pour tout n∈IN , V=v . n ∑ k k= 1 I.C.1) Montrerque pour tout couple dÕentiers naturels (p,q)  telque 1≤p<qÐ 1 , on a : q qÐ 1 u v=(uÐu)V+u VÐu V . ∑ k k ∑ k k+ 1k qq p+ 1p k=p+ 1k=p+ 1 I.C.2) Onsuppose que la suite (V) est bornÈe et que la sÈrie * n n∈IN uÐu est absolument convergente. ∑ k k+ 1 k≥1 Montrer que la sÈrie u v est convergente. ∑ n n n≥1 I.C.3) Onsuppose que la suite (V) est bornÈe et que la suite (u) n * n * n∈INn∈IN est dÈcroissante, convergente et de limite nulle. Montrer que la sÈrie u v est convergente. ∑ n n n≥1 I.D -DÈduire des questions prÈcÈdentes que pour tout x  quiappartient ‡ IR\2πZZ , les sÈries cos(kx)sin(kx) -- et -- sont convergentes. ∑ ∑ k k k≥1k≥1 Que dire pour un rÈel x qui appartient ‡ 2πZZ ?

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC Partie II - Quelques exemples dÕensembles C a On se place dans le cadre des notations de lÕintroduction. n II.A -Soit (b) dÈÞnie pour tout n∈IN par : b=a(R) . a n n ∈ n n IN n Montrer que le rayon de convergence de la sÈrie entiËre b z est R= 1 et ∑ n b z quÕun complexe z appartient ‡ C si et seulement si - appartient ‡ C . a b R a On se ramËne ainsi ‡ lÕÈtude de sÈries entiËres de rayon de convergence Ègal ‡ 1 II.B -On suppose dans cette question que a est convergente et que R= 1 . ∑ n a II.B.1) DÈterminer C . a II.B.2) Onnote pour tout n∈IN :   I→IC : f n  . inx  x→a e n  Montrer que la sÈrie de fonction f converge uniformÈment sur I vers une ∑ n fonction continue sur I . n II.B.3) Donnerun exemple simple de sÈrie entiËre a z pour laquelle C ∑ n a est le cercle unitÈ. n II.C -Donner un exemple simple de sÈrie entiËre a z pour laquelle R= 1 ∑ n a et C est vide. a II.D - Construction de quelques cas intermÈdiaires. n II.D.1) Onsuppose quÕil existe un complexe z de module 1 tel que a z soit 0 ∑ n0 n semi-convergente (cÕest-‡-dire que a z est convergente mais ne converge pas ∑ n0 absolument). Montrer quÕalors R= 1 . a * 1 II.D.2) Soit ξ un complexe de module 1. Si pour tout n∈IN , a= -- , mon- n n nξ trer que C est le cercle unitÈ privÈ dÕun point ‡ dÈterminer. a * II.D.3) Soit p∈IN et p complexes distincts ξ, ,ξ , tous de module 1. 1p n Construire un exemple de sÈrie entiËre a z laquelle pour C le cercle est ∑ n a unitÈ privÈ des p points ξ, ,ξ . 1p * cosn II.D.4) Onsuppose que, pour tout n∈IN , a= -- . n n DÈterminer R et C . a a La sÈrie a est-elle convergente ? ∑ n n≥1

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC Partie III - Un exemple pour lequel C est le cercle unitÈ et a a  diverge ∑ n Dans cette partie, on dÈÞnit la suite a de la faÁon suivante : n ¥ a= 0 , o ¥ pourtout naturel p non nul et tout naturel n tel que p 2 2 (Ð 1) p≤n≤(p+ 1)Ð 1 :a= -- . n 2 p III.A -Montrer que la sÈrie a est divergente. ∑ n (On pourra par exemple chercher un Èquivalent de a ). n III.B -Soit (A) la suite des sommes partielles de la sÈrie numÈrique a . n ∑ n * 2 III.B.1) Pour N∈IN , on note P le plus grand entier naturel vÈriÞant : P≤N . On pose : R=AÐA 2 . N N PÐ 1 2P+ 1 Montrer que R≤ -- . N 2 P III.B.2) EndÈduire que la sÈrie a est convergente. ∑ n ix III.C -Soit z=e un complexe de module 1, avec x non nul appartenant ‡ I . III.C.1) Calculer aÐa suivant les valeurs du naturel n , et en dÈduire que n+ 1n la sÈrie aÐa est convergente. ∑ n+ 1n n III.C.2) DÈduiredes rÈsultats prÈcÈdents et de la partie I que la sÈrie a z ∑ n est convergente.

Partie IV - Un dernier exemple

IV.A -On veut montrer quÕil existe une constante rÈelle C 1 entier naturel non nul n et tout rÈel x : n sin(kx) -≤C . ∑ 1 k k= 1

telle que pour tout

Soient x∈]0,π[ et k le plus grand entier naturel tel que k⋅x≤ π . x x IV.A.1) Onsuppose que 1≤n≤k . Montrer que : x n sin(kx) 0≤-≤ π . ∑ k k= 1

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC IV.A.2) Onsuppose que n>k . Montrer que : x n sin(kx) -≤2 . ∑ k k=k+ 1 x On pourra notamment utiliser le rÈsultat de la question I.C.1. IV.A.3) Conclure. IV.B -Soit n et N deux entiers naturels tels que : 1≤n≤N . Soit Q le polynÙme dÈÞni par : n,N NÐ 1N+n 1 k 1 k Q(X)= - X+ - X . n,N ∑ ∑ NÐk NÐk k=NÐn k=N+ 1 IV.B.1) Soit x∈IR . Montrer que : n ix iNx sin(kx) Q(e)= Ð2ie-- . n,N ∑ k k= 1 IV.B.2) EndÈduire quÕil existe une constante rÈelle C que, pour telle 2 tout couple de naturels (n,N) tel que 1≤n≤N et tout complexe z de module 1 : Q(z)≤C . n,N2 IV.C -, on pose :Pour tout entier naturel non nul 3 3 (j) (j+ 1) n= 2 , N= 2 et I= [[NÐn,N+n]] . j jj jj jj VÈriÞer que les intervalles I ainsi dÈÞnis sont disjoints deux ‡ deux. j

Pour toute la suite du problËme, onpose pour tout naturelnon nul: P=Q , et on dÈÞnit les suites (α) et (a) de la faÁon suivante : j n, k N k ∈IN k ∈ j j kIN ¥ sÕilexiste j∈IN* tel que k∈I , et k≠N , alors : j j (ik)Új 1e α= -- et a= -- ; k k 2 NÐk j j(NÐk) j ¥ sinon α=a= 0 . k k k On Ètudie la sÈrie entiËre a z . ∑ k * Pour tout n∈IN et x∈]Ðπ,π] , on note 1   n n  i x+ -    j ikx 1   A(x)=a e et B(x)= - P e . ∑ n ∑ 2   n kj j k= 0j= 1  

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC IV.D -Montrer que la suite de fonctions (B) converge uniformÈment sur n * n∈IN I vers une fonction continue que lÕon notera F .

IV.E -Montrer que pour tout naturel n non nul et tout x appartenant ‡ I : B(x)=A 3 (x) . n (n) 3⋅2 IV.F -On veut montrer que la suite de fonctions (A) converge Ègalement n n∈IN vers F sur I . * 2 IV.F.1) Montrerque pour tout j∈IN et (p,q)∈(I) tels que p<q : j qÐ 1 αÐα ≤4 . ∑ k k+ 1 k=p IV.F.2) EndÈduire quÕil existe une constante rÈelle C  telleque pour tout 3 entier naturelnon nul, pour tout couple de naturels (p,q) , tels que p≤q et pour tout rÈel x non nul appartenant ‡ I : q C ikx 3 αe≤ - . ∑ k x k=p IV.F.3) Soit x∈I , x≠ π . VÈriÞer que, pourentier naturel sufÞsamment grand, on a 1 1 x+ - ≠0 et x+ - ∈I . j j En dÈduire que pour n naturel sufÞsamment grand : C 3 3 1 3 (j) (j+ 1) A(x)ÐB(x)≤ --- est lÕentier naturel tel que, o˘ 2≤n<2 . n j 2 1 j x+ - j On considËre maintenant le cas x=π . Montrer, avec les mÍmes conditions sur et n , que C 1 3 A(x)ÐB(x)≤ --- . n j 2 1 j πÐ - j IV.F.4) Conclure.

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC IV.G -On note pour tout n∈IN :   I→IC  f:  . n inx  x→a e n  On veut prouver que la sÈrie de fonctions f ne converge pas uniformÈment ∑ n sur I . IV.G.1) Montrerque, pour tout entier naturelnon nul : 3 (j) 2 1 1 1 1    AÐ - ÐAÐ - = - - .  j   j  2 ∑ k N NÐnÐ 1 j jj j k= 1 IV.G.2) Donnerun Èquivalent simple de cette expression lorsquetend vers +∞ et conclure. IV.H -Donner R et C . a a

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