Mathématiques 1 2005 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 1 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

Notations et objectifs. On note :

calculatricesautoris´ees

: l’ensemble desnombres entiers naturels, N  :l’ensembledesnombresre´els, R  : l’ensemble desnombres complexes, C  0 : leespace vectoriel des fonctions continues dedans , R RR  C 0 0 : le sousespace vectoriel dedes fonctionsfridasedecnofnoitodriueiqc’s(t`ess´teelple1squef(x=+ 1)f(x), po  CC 1 toutx). R ∈ 0 0 Danstoutceproble`me,onde´signeparapei:radsnede´nd,’appltionlica 0 C C x+1 pour toutf,(f) =F`uoF`adans quiest la fonction dexassocief(t)dt. R R x ∈ C 0 C R On admet queest un endomorphisme de. L’objetdeceprobl`emeestl’´etudedequelquesproprie´te´sdelafonctionFet de l’endomorphisme.

I.1.Exemples.

Partie I Quelquespropri´ete´sdeF=(f)

I.1.1. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) = 1. R k I.1.2. ExpliciterF(x), sifrapre´neiustdesf(t) =t(o`ukestx´esnad ∗ ). R N I.2.Variations deF=(f). 0 On d´esigne maintenant parf.une fonction arbitraire de C 1 I.2.1. Montrerque la fonctionFest de classesur .ExpliciterF 0 (x) en fonction defet dex. R C I.2.2. Montrerque si la fonctionfcroitd´eemenctivseepetr(ssnarciostealrvlenuruetninasss)etJ x = [x 0 ,alors+ [, ∞ 0 fonctionFest croissante (respectivement d´ecroissante) surJ x . 0 0 I.2.3. Montrerque la fonctionF=(f) est constante sursi et seulement sifat`entiarppa. R C 1 I.2.4. ExpliciterF(x), sifest d´eparnie surf(t) =sin(πt) . R | | 0 On suppose denouveau quefnguee´iscnitenofbitronardeaire.d C I.2.5. Onsuppose que la fonctionfadmet une limiteL 1 .en + ∞ Montrer que la fonctionFadmet une limiteL 2 .(que l’on explicitera) en + ∞ I.3.Propri´et´es du graphe deF. 0 SoientfetF=(f). ∈ C u+ 1 1 2 Onconside`relafonctionψdn´esuieraprψ(u) =F u= 1 f(t)dt. R 2 u − ¡ ¢ R 2 − I.3.1. Comparerψ(u) etψ(u), si la fonctionfest impaire (respectivement paire). − I.3.2.Quelleproprie´te´ge´ome´triquedelarepre´sentationgraphiquedelafonctionFesr´taulirduesedbostnettuodne´ep enI.3.1, si la fonctionfest impaire (respectivement paire) ?

I.4.Etude d’un exemple. 2 k t + e − Soitf(t) = ∞ 2 , pourtlee´.r k=1k+ 1 I.4.1. Montrer P que la fonctionfruseunintcoetien´etdesR. 1 1 I.4.2. Montrerque la fonctionfsur .Estellede classeest de classeCsur ? ∗ R R C I.4.3. Lafonctionfoui, laquelle ?? Siadmetelle une limite en + ∞ I.4.4.Indiquerl’alluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionfron(chnecherrepasaa`rpe´icesf(0)). I.4.5. Lafonctionfestelle int´egrable sur? R I.4.6. SoitF=(f). I.4.6.1.Indiquerl’alluredelarepr´esentationgraphiquedelafonctionF. I.4.6.2. LafonctionFesur?t´egrabltleelnise R + (on pourra comparerF(x) etf(x) pourx).`atpanenaaptr R

Partie II L’endomorphisme II.1. L’endomorphismeestil surjectif ? II.2.Sur le noyau de. Onnotede´sormaisK er()le noyau de l’endomorphisme. 1 0 II.2.1. Montrerque :f Ker()fetf(t)dt= 0. 2 1 ´ 1 0 ∈ ⇐⇒∈ C II.2.2. Soit(f, g) 10 note. Ong< f ³ >= 0 f(t)g R (t)dt. ∈ C| ∈N ¡ ¢R Soitk ∗ note. Onc k rrpaiesuaflctonndion´ec k (t) = cos(2πkt). R 0 2 II.2.2.1.Ve´rierquec k aurtoutopa`tneitrappk ∗ et calculer< c j c k >pour tout choix de (j, k) ( ∗ ) . N N C ∈| ∈ 1 II.2.2.2.K er() estil de dimensionnie ? 0 II.2.3. Soitf. ∈ C x 1 Soitn. On note :φ(x) =f(t)dtpourx[n, n+ 1]. N n n ∈ n+1 f(t) ∈ N n R t Soitn ∗ pose. OnW n =dt. ∈ II.2.3.1.∈N ∗ R , la relationW n+1n t φ(1) n+ 1 φ(t) 0n Etablir, pour toutn n = + 2 dt. | | R ) . II.2.3.2. Montrerqu’il existeM= max [0,1] (φ 0 Montrern,x[n, n+ 1],φ(x)M N n n+1 | ∀ ∈∀ ∈ φ n ( | t) End´eduirequelas´erie 2 dtconverge. n t P R ≥ II.2.3.3. Sion suppose quefppraat`atienker(derutanaltseelle),queri´easelW n ? n1 P ≥ Si on suppose quefna’ppraitneptsaa`ker(,q)lluesteeanalerutaledre´sieW n ? n1 II.3.Sur le spectre de. P On noteSp(emns’e)lavsedelborpsruelsmhiedoenrpmosell’ledserpee´r. at Siannoteelx´e,omorbree´seutnnh a lrparsueine´dnoitcnofah a (t) =e. R II.3.1. Montrerque chaqueh a est un vecteur propre de l’endomorphisme. u e1 II.3.2. Etudierles variations de la fonctionu − pouru ∗ . u R 7→ ∈ + II.3.3. Expliciterl’ensembleSp() . R Partie III Une suite de fonctions propres de l’endomorphisme Soitλune valeur propre de l’endomorphisme On noteE λ ropreurpelepecarporsuospseale`alavsseai´ocλiestqudenaxe´etectsuotiareptte. On supposeλ >0. I II.1.Soitk ∗ . On noteI k l’intervalle ]2kπ,(2k+ 1)π[. N ∈ cos(t) sin(t) On pose, pour touttde l’intervalleI k :g(t) =tln+ri´e.enemhtpe´nolnoiragnctilafoigned´esu`nlo, ³ ´ ³ ´ si n(t)λt + 2 2 I II.1.1.Soitρpar:eniesurcnitno´dalofρ(t) =tsin(2t)tsin (t). R + − − Etudier la fonctionρicesrpe´isngsrnoe.etsur R I II.1.2.Montrer quege´dtinbenuijectiondeI k intnreavlldeea`rpe´ices.rsuru R (f k ) On se propose de montrer l’existence, dansE λ , d’une suite (non triviale) kN ∗ de fonctions propres. ∈ I II.2.Soitγ=a+ibu(o`,a, b) ]0,+ [. R ∈ ×∞ x+1 γt I II.2.1.Soitx. Calculere dt. R x ∈ nn´e R cessaire et suffisante la fonctionhdeRdansRien´edraph(t) =ecos(b at I II.2.2.A quelle conditiot) estelle un vecte propre de l’endomorphismeeassco´ie`alavaleurproprλ? III.3.Ende´duireunesuite(f k ) k de fonctions propres de l’endomorphisme. N ∗ ∈

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