Mathématiques 1 2006 Classe Prepa PSI Concours Centrale-Supélec

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Concours du Supérieur Concours Centrale-Supélec. Sujet de Mathématiques 1 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006
• Concours Centrale-Supélec

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 85
• Langue: Français

Extrait

Daprès centrale PSI - 2006 épreuve 1 Notations et dénitions. p 2 2 2 -Rest muni de la normek(x; y)k=x+y. + +1 + - OnnoteC(R;R)lensemble des fonctions continues deRdansRetLlensemble des fonctionsf2 C(R;R)intégrables Z +1 + 1 surR. Sif2L, on posekfk 1 =jfj. 0 + + - OnnoteBlensemble des fonctionsf2 C(R;R)bornées surR. Sif2B, on posekfk 1 = supjfj. + R + - Si2[1;+1[, on convient que0 =0; ainsi,t2R7!test continue. Z +1 1 - Onpose, lorsque cela a un sens,I() =dt.  1 +t 0 + - Si2[1;+1[ethest une fonction continue deRdansR, on noteE ;h léquation di¤érentielle linéaire 1 00 0 (E ;h ) :yy+y=h  1 +t + 2 Par dénition, une solution de(E ;h )est une fonction deRdansRde la variabletde classeCvériant(E ;h ). 1 = - Danstout le problème on noteraqla fonction dénie par :8t2R,q(t) =etQla primitive nulle en0deq.  1 +t - Pourune équation di¤érentielle linéaire du second ordre(E), de second membreh, on dénit les propriétés de stabilité suivantes : on dira que(E)eststable par rapport aux conditions initialessi et seulement si pour tout" >0, il existe 0  >0tel que sifest une solution de(E)vériantk(f(0); f(0))k , alorsf2Betkfk 1 ". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens 1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk 1 etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk 1 ". on dira que(E)eststable par rapport au second membre au sens1si et seulement si pour tout" >0, il 10 existe >0tel que sih2Lest tel quekhk 1 etfest solution de(E)vériant(f(0); f(0)) = (0;0), alors f2Betkfk 1 ". De plus, dans le cas de léquation(E ;0 ): 2 on dira que(E)eststable par rapport au paramètresi et seulement si pour tout(a; b)2Ret" >0, il existe >0sitel que :2[1;+1[vériejj ,fest solution de(E ;0 )etgest solution de(E ;0 )avec 0 0 (f(0); f(0)) = (g(0); g(0)) = (a; b), alorsfg2Betkfgk 1 ". Objectifs et dépendances des parties. - Lobjectifdu problème est détudier le comportement des solutions de(E ;0 )vers+1, ainsi que di¤érentes notions de stabilité. 00 - LapartieIétudie le cas de léquation limite à linni"y+y=h. - LapartieII, indépendante deI, étudie le comportement à linni des solutions de(E ;0 )pour >1. - LapartieIII, qui étudie les problèmes de stabilité pour >1, utilise des résultats deIIA,II:CetI:5. - LapartieIVqui étudie le comportement à linni des solutions de(E 1;0 )utiliseII:B. - LapartieV, qui étudie les problèmes de stabilité pour= 1, utilise les partiesIVetII. 00 Partie I. Etude de léquationy+y=h. +00 Sih2 C(R;R), on note(F h )léquation di¤érentielley+y=h. Pardénition, une solution de(F h )est une fonction de 2 + classeCdeRdansRvériant(F h )? I.A. A.1. Donnerlensemble des solutions de(F 0 ).

A.2. Danscette question uniquement, on prend pourh:x7!cos(x). Donnerlensemble des solutions de(F h )dans ce cas. A.3. Danscette question uniquement, on prend pourhla fonction2périodioque dénie sur[0;2]par  sin(x)six2[0; ] h(x) = 0six2[;2] 0 ) = 0 On notef p la solution particulière vériantf p (0) =f p (0 + Démontrer quehest continue surR Montrerg;dénie parg(x) =f p (x+ 2)f p (x)est solution de(F 0 ) + En déduire quil existe deux scalairesaetbtels que :8x2R:f p (x+ 2) =f p (x) +acos(x) +b(sin(x) Calculerf p sur[0;2]En déduireaetb. I.B.Stabilité par rapport aux conditions initiales. 20 Si(a; b)2Retfest la solution de(F 0 )vériant(f(0); f(0)) = (a; b), montrer quef2Betkfk 1  k(a; b)k. Z t + + I.C. Sih2 C(R;R), montrer quef 0 :t2R7!h(u) sin(tu)duest solution de(F h )et en déduire lensemble des 0 solutions de(F h ). I.D.Stabilité par rapport au second membre au sens 1. 10 On donneh2L. Déterminerla solutionfde(F h )vériant(f(0); f(0)) = 0, montrer quef2Betkfk 1  khk 1 . En déduire que(F h )est stable par rapport au second membre au sens1. I.E.Stabilité par rapport au second membre au sens1. 00 Soit >0léquation di¤érentielle. Résoudrey+y=cos(t)et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisément, ne sont pas eno(t)quandt!+1. En déduire la non stabilité de(F 0 )par rapport au second membre au sens1. Partie II. Comportement à linni des solutions de(E ;0 )pour >1. II.A. Démontrerlexistence deI(), pour >1, et sa continuité par rapport à. II.B.Relèvement angulaire. +k On donneg:R!Cda classeC,k1. 0 g A B.1. Justierlexistence dune primitiveAde etmontrer quegeest constante. g B.2. Enécrivant la fonctionAsous la formeA=B+iC, oùBetCsont des fonctions à valeurs réelles, justier quexistent k+k+i r2 C(R;R)et2 C(R;R)tels queg=re. + II.C.Comportement à linni pour >1. Soit >1etfune solution non nulle de(E ;0 ). 1 +1 +0 C.1. EnappliquantII:B, montrer quexistentr2 C(R;R)et2 C(R;R)telles quef=rcos()etf=rsin(). + 0 Exprimerren fonction defetf. Les fonctionsretsont xées ainsi pour la suite de cette partie. C.2. Démontrerque 0 0 rsin() +rcos() =qrsin()rcos() 0 0 rsin () =rsin() +rcos() C.3. Endéduire que : 0 =1 +qsin() cos() : 02 r=qrsin(): C.4. Q Montrer quereest décroissante. En déduire quera une limite strictement positive en+1vériantlimrr(0) exp(I()). +1 0 0 Démontrer quefetfsont bornées park(f(0); f(0))kexp(I()). + C.5. Montrerquet> qsin () cos ()surest intégrableR En déduire que(t) +ttend vers une limite réelle quandt!+1.

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 C.6. Démontrerquexistenta2Retb2Rtels quef(t)acos(t+b)! t!+1 0. + C.7. Tracerlallure du graphe defvers+1. Partie III. Etude de la stabilité pour >1. Dans toute la partie, >1, et(f 1 ; f 2 )est un système fondamental de solutions de(E ;0 ). f 1 f 2 w= 0 0 est le wronskien associé.  f f 1 2 On pensera à utiliser les résultats deII. III.A.Stabilité par rapport aux conditions initiales. Démontrer que(E ;0 est stable par rapport aux conditions initiales. III.B.Stabilité par rapport au second membre au sens 1. B.1. Déterminer une équation di¤érentielle vériée parw, exprimerwen fonction deQet en déduire quil existea; b + réels tels que pour toutx2R,0< a jw(x)j b. + B.2. Sih2 C(R;R), montrer que les solutions de(E ;h )sont les fonctions du typef=C 1 f 1 +C 2 f 2 , oùC 1 est une hf hf 2 1 primitive deetC 2 une primitive de. w w B.3. Quelles sont les conditions nécesaires et su¢santes requises surC 1 etC 2 dans la question précédente pour avoir 0 (f(0); f(0) = (0;0)? + 10 B.4. Démontrerlexistence deC2Rpour touttelle que :h2L, la solutionfde(E ;h )vériant(f(0); f(0)) = (0;0) est dansB, etkfk 1 Ckhk 1 . Endéduire que(E ;0 )est stable par rapport au second membre au sens 1. III.C.Instabilité par rapport au second membre au sens1.  On xe2R. + 00 Soitgsolution dey+y=cos(t). 1 +000 0 Soitfla solution surRdeyy+y=cos(t)telle que(f(0); f(0)) = (0;0). Onpose =fg.  1 +t + C.1. Démontrerqueest solution de(E ;h )pour une fonctionh2 C(R;R)vérianth(t)! t!+1 0. (hdépend deg et deq) Z t C.2. Démontrerqueh(t)! t!+1 0implique quejhj= t!+1 o(t).(on écrira que la limite dehest nulle en revenant 0 à la dénition avec des quanticateurs) C.3. Utilisantla résolution de(E ;h )vue enIII:B, montrer que(t) = t!+1 o(t). C.4. Démontrerque(E ;0 )nest pas stable par rapport au second membre au sens1. III.D.Stabilité par rapport au paramètre. 2 On xe pour la suite de la question(a; b)2R. Soit2]1;+1[. 0 0 Soitfla solution de(E ;0 )vériant(f(0); f(0)) = (a; b),gla solution de(E ;0 )vériant(g(0); g(0)) = (a; b). On pose =fg. Z Z 1 +1 dt dt Si >1, on poseJ() =etK() =.   1 +t1 +t 0 1 Comme pourI, les fonctionsJetKsont bien dénies et continues sur]1;+1[(on ne demande pas de le montrer). D.1. Démontrerqueest une solution de léquation di¤érentielle(E ;h )avec   1 1 0 h:t7! g(t)   1 +t1 +t 1 D.2. Démontrerqueh2Let I() khk 1  k(a; b)ke(jJ()J()j+jK()K()j) D.3. Démontrerque(E ;0 )est stable par rapport au paramètre. Partie IV. Etude du comportement vers+1pour= 1. fest une solution non nulle de(E 1;0 ). f(t) + On poseg:t2R 7! p . t+ 1

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  3 00 IV.A. Etablirque pour toutt0,g(t) +1g(t) = 0. 2 4(1 +t) 2 +2 + +0 IV.B. Démontrerquexistent2 C(R;R)et2 C(R;R)telles queg=cos()etg=sin() + IV.C. Déterminerune équation di¤érentielle vériée paret montrer que(x) +xtend vers une limite réelle lorsquex!+1. IV.D. Déterminerune équation di¤érentielle vériée paret démontrer quetend vers une limite réellea >0en+1. p p IV.E. Démontrerquil existe un réelbtel quef(t)a tcos(t+b)= t!+1 o(t), oùaest le réel déni ci-dessus. IV.F. Tracerlallure du graphe defvers+1. Partie V. Etude de la stabilité pour= 1. V.A. Démontrerque(E 1;0 )nest pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre. 1 00 0 calculerf(x)f x) +f(x)déduire concernant la stabilité de. Quen(E)par V.B. Si2Retf  :x7!xsin(x),   ( 1;0 1 +x rapport au second membre au sens1?

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