Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 217
• Langue: Français

Extrait

Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 1999

MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientifique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee.

Proble`me1 Notations: •n´da3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu •M n (Rsedelbmesecirtam)ns’etles´eescarrdred’ornffieica`oc´reenest.sl   x 1   n nnesXvecteurs de= esR. •On identifie les matrices unicolo  .  d’ordrenavec l x n n •Rduroupiduntmesot´equenonineraclaiatics< .,. > ..ipard´efin:    x 1 y 1 n P    siX= etY= ,alors< X,Y>=x k y k .  .   .  k=1 x n y n t En identifiant les matrices deM 1 (Rclver´eslseena,o:a)>< X,Y=XY. •I n ciieamrtenalsegideit´ed´edntM n (R). •A n est la matrice deM n (Rlagee´´nrermtelentdo)a i,j 1siset´egal`a|i−j|0a`loniste1=age´n.     0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0     Ainsi, par exemple,A 3 = 10 1 etA 4 = .   0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1. MontrerqueA 3 est diagonalisable. De´terminerunematriceinversiblePdeM 3 (R) et une matrice diagonaleDdeM 3 (R) telles que −1 A 3 =P DP. 2. Soitθ∈]0;πgnep´esi.Ond[raS θ el´es(leuisssrtebmesedelne’ls k ) k∈N telles ques 0 = 0 et pour tout entier naturelk,s k+2 −2 cosθ s k+l +s k = 0. sinkθ Montrer que, si la suite (s k ) k∈N arappt`atienS θ , alors pour tout entier naturelk:s k =s 1 . sinθ Ende´duirequeS θ seutenpscaveectorielr´eeldedneminois.1

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  x 1   deAetX`aci´esaosun)ln(no=poerλ. 3. Soitλer´eelleeurproprnuvela n  .  un vecteur pr x n On notemlsele´rseddnargsulpe|x 1 |,|x 2 |, . . . ,|x n |.   •λx 1 =x 2 (a) Montrer: •∀k∈[2,n−1]], λx k =x k−1 +x k+1  •λx n =x n−1 Montrer pour tout entierkde[1,n]]:|λ| |x k |62merdeiuend´,et|λ|62. (b) Onsuppose|λ|<2. Montrer qu’il existe un uniqueθ∈]0,π[ tel queλcos= 2θ. Montrer que la suite (s k ) k∈N deS θ rmte´edperanie´s 1 =x 1 ve´:rifie  •∀k∈[1,n]], s k =x k •s n+1 = 0 pπ End´eduirequ’ilexisteunentierpde[1,n]] tel queθ= . n+ 1   sinθ p pπ sin 2θ p Pour tout entierpde[1,n]], on noteθ p = ,λ p cos= 2θ p etX p =   . n+ 1  .  sinnθ p (c) Soitp∈[1,n]]. Montrer queλ p est valeur propre deA n et queX p teurpropestunvece´,saericos a`λ p . (d) Montrerque{λ 1 ,λ 2 , . . . ,λ n }est l’ensemble de toutes les valeurs propres deA n et que (X 1 ,X 2 , . . . ,X n ) n est une base deR. pqπ 2 4. SoitU n , la matrice deM n (R)dtereem´gnee´arlu p,q , (= sinp,q)∈[1,n]] . n+ 1 5. MontrerqueU n tsnieeteretd´ibleversirtaecenimmalrD n deM n (R) telle que: −1 D n =U n A n U n 6. 2t t (a) Montrerpour tout couple (p,q) de[1,n]] :λ p X p X q =λ q X p X q . 2 End´eduirequelabase(X 1 ,X 2 , . . . ,X n ) est orthogonale et que, pour tout couple (p,q) de[1,n]] n P tel quep6=qsin, on a:kθ p sinkθ q = 0. k=0 n P (b) Montrer,pour toutpde[1,n2]], coskθ p = 0. k=0 n P n+ 1 2 Ende´duireque,pourtoutentierpde[1,n]], on a:sinkθ p = . 2 k=1 n+ 12 2 eU=A=U D U. (c)End´eduir n I n , puis n nn n 2n+ 1 Probl`eme2 ( −ln(1−t) sit∈]0,1[ Onconsid`erel’applicationf: [0,1[−→R´eeloutrourtie,pnfie´dtde [0,1[, par:f(t) = t 1 sit= 0 1. (a) Montrerque f est continue sur [0,1[. 2

1 (b) Montrerquefest de classeCsur ]0,1[ et calculerf(t´etrourtp)uoeltde ]0,1[ 1 01 (c) Etablirquef(tlorsque) tend versttend vers 0, et quefest de classeCsur [0,1[. 2 t (d)Montrer,pourtoutr´eeltde [0,1[: ln(1−t) +≥0. 1−t (e) Dresserle tableau de variation defe´rpesicalarimiltedeOn.f(t) lorsquettend vers 1. (f)Tracerl’alluredelacourberepre´sentativedefaerapddnudeeiees´oicr´lvsedea.’´et(Onnfet on admettra quefest convexe.) 2. x R (a)Montrerque,pourtoutr´eelxde [0,rale1,]l’int´egf(t)dtexiste. (On distinguera les cas 0 x∈[0,1[ etx= 1.) x R On noteg: [0,1]→Rla’ticalippniefid´onotruop,elee´rtuxde [0,1], parg(x) =f(t)dt. 0 20 (b) Montrerquegest continue sur [0,1], de classeCsur [0,1[ et calculerg(xou)plerte´truoxde [0,1[. g(x)−g(1) (c) Etablirque tendvers +∞lorsquextend vers 1. x−1 −2 (d) Dresserle tableau de variation degu’uqarttruelavenmeadOn.och´appreedegrpa`01(1)e`s est :1,65. (e) Etablirquegest convexe sur [0,1[. (f)Tracerl’alluredelacourberepre´sentativedegxpauntoisedset-imegnasetn.Onpr´eciseral d’abscisses 0 et 1. 3. P n (a)Justifierque,pourtoutre´eltde [0,ieers´laiqerm´nuu,e[1tconverge. n≥0 Quelle est sa somme? On note, pour tout entier natureln,R n : [0,1[→Reiape´nfioidncitaappll’r: +∞ X k ∀t∈[0,1[, R n (t) =t k=n+1 n+1 t (b) Montrer,pour tout entier naturelntu´reeltoettde [0,1[:R n (triude´dn,euqe)=ete 1−t pour tout entier natureln,R n est continue sur [0,1[. (c) Etablir,pour tout entier naturelneuotttr´eelxde [0,1[: x x Z n Z k+1 X 1x dt= +R n (t)dt 1−t k+ 1 k=0 0 0 (d) Montrer,pour tout entier naturelne´leuortettxde [0,1[ : x Z x 06R n (t)dt6 (n+ 2)(1−x) 0

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k+1 P x (e)De´montrerque,pourtoutr´eelxde [0,1ers´la[,re´muneieuqienverstcoeeqtegtneu k+ 1 k≥0 k +∞ P x f(x) =. k+ 1 k=0 4. n P x (a)Montrerque,pourtoutr´eelxde [0,equecostrevntneg.e1]l,sae´irnemue´ir 2 n≥1 n On note, pour tout entier natureln,ρ: [0,1[→Rplapl’ndioaticapeinfie´:r n +∞ k X t ∀t∈[0,1[, ρ(t) = n k+ 1 k=n+1 (b) Montrerque, pour tout entier natureln,ρ, est continue sur [0,1[. n (c) Etablir,pour tout entier naturelnel´etrouttexde [0,1[: x n Z k+1 X x g(x) =+ρ(t)dt n 2 (k+ 1) k=0 0 (d)D´emontrer.pourtoutentiernaturelnee´rletuttotde [0,1[: 1 06ρ(t)6 n (n+ 2)(1−t) (e)End´eduireque,pourtoutentiernaturelne´ertluottexde [0,1[: x Z −ln(1−x) 06ρ(t)dt6 n n+ 2 0 n +∞ P x (f)Conclureque,pourtoutr´eelxde [0,1[ :g(x.) = 2 n=1 n

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