Mathématiques 2 2003 Classe Prepa MP Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatricessontinterdites. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Calculs de distances entre une matrice et certaines partiesde M n ( ! ) Notations Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : M n ( ! ) :!gèbre des matrices carrées réelles d’ordren. la al : leespace vectoriel des matrices ànlignes et à une colonne. M n,1 ( ! ) ! t Pour une matriceAdeM ( ! ) ,Aest sa matrice transposée, rang(A) sonrang et Tr(Atrace.) sa n I: la ma n trice unité de M n ( ! ) . S n ( ! ) :le sousespace vectoriel des matrices symétriques de M n ! ) . A n ( ! ) e sousespace vectoriel des matrices antisymétriques deM n ( ! ) . : l + : l’ensemble des matrices positiveses matricesA de S n ( ! )  de S n ( ! )  c’estàdired S n ( ! ) t vérifiant : pour toute matrice M n,1 ( ! ) ,X AX ≥ 0 .∈ GL (!) : le groupe des matrices inversibles de M n ! ) . n O n ( ! ) : le groupe des matrices réelles orthogonales c’estàdire des matricesM de M n ( ! ) t vérifiant :M M=I. n Pourpentier naturel, ∆ est l’ensemble des matrices de M n ! ) de rang supérieur ou égal àpet p ∇ est l’ensemble des matrices de M n ! ) de rang inférieur ou égal àp. p

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Objectifs Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d’une matrice à : dans la partie II., S n ( ! ) et A n ( ! ) par le théorème de projection orthogonale, par le théorème de décomposi dans la partie III.,O n ( ! ) tion polaire, dans la partie IV., ∆ par des notions de densité, p dans la partie V., ∇ par le théorème de Courant et Fischer. p La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties. Remarque : dans le texte, le mot « positif » signifie « supérieur ou égal à 0 ». I.  Exercicepréliminaire  1 2 1    t 1. Soit la matrice  2 1 1  de M 3 ! ) ,on poseH. Γ =− −− Γ= Γ   −1−1−2   Diagonaliser la matriceHet atriceP déterminer une mdeO 3 ( ! ) et une matrice diagonaleDà 2−1 termes tous positifs telles queD=P HP. −1 + 2.  On poseS=P D P∈ S 3 ( ! ) , montrer que la relationΓ =U Sune matrice définit U∈O ( ! ) et calculer cette matrice. 3 II. de la distance de CalculAàS n ( ! ) et àA n ( ! ) t 3. SoitAetBdeux matrices de M n ( ! ) ,on pose(A B)=Tr (A B) . init ainsi un produit scalaire sur Montrer que l’on défM n ( ! ) . 1 La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée :A= ( (A A) ) 2 . Dan esrtie non vide de M n ( ! ) ,la dista s tout le sujet, siΠ tnce d’une matriceune paA de M n ( ! ) a partieΠest le réeld(A,Π)=infA−M. à l M∈Π 4.  MontrerqueM n ( ! ) S n ( ! ) ⊕ A n ! ) et que cette somme directe est orthogonale. = 1 t 5.  SiAune matrice de estM n ( ! ) , montrer qued(A,S n ( ! ) )(A A) = −déterminer de et 2 mêmed(A, A ( ! ) ). n 6. d( , 3 ( ) CalculerΓA!) oùΓest la matrice exemple de la partie I.

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III.  Calcul de la distance deAàO n ( ! ) A. de la décomposition polaire Théorème + 7. Montrer qu’une matriceSdeS n ( ! ) appartient àS n ( ! ) si et seulement si toutes les valeurs propres deSsont positives ou nulles. t + 8.  SiAest une matrice de M n ( ! ) montrer que la∈ matriceA A S n ( ! ) . 9. SoitAmatrice de une (  suppose M n ! ) , onqu’il existe une matrice diagonale t 2 D = diag (d,d, ...,d) àtermes positifs telle queA A=D. 1 2 n On noteA,A,...,Ade n les matrices M n,1 ( ! ) qui forment les colonnes de la matriceA. 1 2 t a. ( Pour tout couplei,j) d’entiersnaturels compris entre 1 etn, évaluer A A . i j  Enparticulier, siiest un entier pour lequeld=0 ,que vautA? i i b.orthonormée (M baseE,E, ...,E) ontrer que l’on peut trouver une 1 2n  deM ( ! )  (par n,1 t rapport au produit scalaire canoniqueX,Y=X Y de M ( ! ) ) telle que, pour tout n,1 entier naturel i entre 1 et n , A=d E . i ii c.  En déduire qu’il existe une matriceEde O n ( ! ) telle queA=E D. t t 10. Soit A et B deux matrices de M n ( ! ) ant A A=B B . vérifi a.Montrer qu’il existe une matrice diagonaleDà termes positifs et une matrice orthogonaleP −1t−1t2 telles que : A PP A=P BB P=D . b.Montrer qu’il existe une matriceUdeO n ( ! ) telle queA=U B. 11. Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire : Pour toute matrice A  de M ( ! ) ,il existe une matrice U  de O ( ! ) et une matrice S  de n n + S ( ! ) telles queA=U S. n + emarque : on peut également établir l’unicité de la matriceSmêmede et (R S n ( ! )  l’unicité de la matrice U de O n ( ! ) si A est de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème). B.  Calculded ( A , O ( ! ) ) n 12. MoΩ ntrer que, pour toute matriceM deM n ( ! ) et pour toute matricedeO ( ! ) , n MΩ = ΩM=M.

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+ ∈ ∈ 13. Dans la suite de cette partie, soitAune matrice de M n ( ! ) , soit UO n ( ! ) et SS n ( ! ) telles que A=U S ; il existe une matrice diagonale D et une matrice P de O ( ! ) telles que n −1 S=P D P . −1 a.que, pour toute matrice MontrerΩ de O ( ! ) ,A=− ΩS−UΩen déduire que et n ) =d ( S , ). d ( A , O n ( ! ) O n ( ! ) b. Montrerqued(A,O ( ! ) )=d(D,O n ( ! ) ). n 14. On noteD = diag (λ,λ, ...,λ) . 1 2n n 2 2 O n ( ! ) ∑ i a. Montrer que pour toute matriceΩde ,D− Ω= λ−2 Tr (DΩ)+n. i=1 n O n ( ! ) , (D) ∑ . b. Montrerque pour toute matriceΩde TrλΩ ≤ i i=1 c.  Conclure qued(D, IO n ( ! ) ) =D− n . = − 15. Montrer qued(A, O n ( ! ) ) A U . 16. Calculer d ( Γ , O 3 ( ! ) ) où Γ est la matrice exemple de la partie I. ∆ IV.  Calcul de la distance deAà p 17. Un résultat de densité. lément d a. SoitMun ée M n ( ! ) , montrer qu’il existe un réel >0 tel que pour tout réel vérifiant 0< λ < α , la matrice M− λI est inversible. n b.  Endéduire que GL ( n !) est dense dans M n ( ! ) . 18. Soit A un élément de M n ( ! ) , déterminer, pour tout entier naturel p≤n , d ( A , ∆ ). p V.  Calcul de la distance deAà ∇ p A.  Théorèmede Courant et Fischer SoitA un S n ! . 1 2 n e matrice de ( ) On noteraλ ≥λ ≥...≥ λ sesvaleurs propres, on notera t D=diag (λ,λ, ...,λ) ,Pmatrice de laO ( ! ) vérifiantA=P DP etC,C, ...,C les 1 2n n 1 2n matri nesde la matriceP. ces de M n,1 ( ! ) formant les colon

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k toriels de M n,1 ( ! ) de Sikest un entier entre 1 etn, on noteΨl’ensemble des sousespaces vec dimensionk. Nous allons montrer que : t X AX λ =max min  (théorème de Courant et Fischer). k t F∈Ψ X∈F− { 0 } X X k 19. Soit X vecteur de un M n,1 ( ! ) de coordonnées( x 1 , x 2 , ..., x n ) dansla base orthonormée ( ,, ..., n )M ,1 ( ! ) .ction desx etλ (ientre 1 et comprisn) : C CC deCalculer en fon 1 2 n i i t t t C k A C k X AXetX Xet pourkentier entre 1 etn, . t C C k k = 20. Soit k entier entre 1 et n , on pose F k vect{ C 1 , C 2 , ..., C k }. t t X AX XA X Montrer que pour toutXnon nul deF,≥ λet déterminermin. k k t t X∈F− { 0 } X XX X k 21. SoitF∈ Ψ k , a.  montrer que dim ( F∩ vect{ C , C , ..., C }) k k+1n ≥ 1. t X AX b. SiXest un vecteur non nul deF∩vect{C,C.C, montrer que≤ λ. k k+1 , .., n } t k X X 22. Conclure. B.  Calculde d(A, ∇ ) p Dans toute cette partie : A est une matrice de M ( ! ) de rang r et p est un entier naturel,. n 23. Montrer qu’il existe deux matricesE etP de O n ( ! ) et une matrice diagonaleDtermes à t positifs telles queA=E D P. En déduire que le rang de la matriceA Aest encorer. (On pourra utiliser les résultats de la question9 . ) t 24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle A A  derang r : µ ==(µ,µ, ...,µ, , µ ≥µ ≥...>≥ µ0 et + ... = µ= si on pose0 , D diag 1 2r 0, ..., 0) 1 2r r1n ice dedon si pour 1≤l≤n  onnoteMmatr la M n ( ! ) t lalième colonne est celle de la l la question 23. , tous les autres termes de M  étantnuls, on a matrice E∈O n ( ! )  de l n clairement : E D= µM . ∑ l l l=1 Montrer alors qu’il existe une famille orthonormale(R,R, ....,Rmatrices de) de M ( ! ) 1 2n n t (pour le produit scalde tesde rang un, et telles que aire (A B)=Tr (A B) M n ( ! ) ), tou n r A= µR = µR. ∑ l l ∑ l l l=1l=1 Tournez la page S.V.P.

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p e= µ 25. Avec les notations de la question 24, on posN ∑ l R l . l=1 ≤ µ+ + Montrer que rang(N)≤ppuis qued(A, ∇ ) p + 1 ...µ r . p ≥ α≥ ≥α ≥ 26. Soit M une matrice de rang p ( p<r ) , on note α 1 2 ... n valeurs propres de la0 les t t matrice (A−M) (A−M) et on poseG=KerM∩Im(A A) . Soitkun entier compris entre 1 et−. a. Montrer que dimG≥r−p. b. Soit F un sousespace vectoriel de G de dimension k , montrer que : t t X AA X α ≥min . k t X∈F− { 0 } X X n t c. On note ( V , V , ..., V ) une base de ! formée de vecteurs propres de la matrice A A , le 1 2n vecteur V étant associé à la valeur propre µ de telle sorte que: µ ≥µ ≥...≥ µ>0 et i i1 2r µ = ... = µ= 0 . r+1n { ,, .., V } ) ≥k .  Montrerque dim( G∩ vect V 1 V 2 . k+p d. déduire que Enα ≥µ. k k + p ∇27. En déduired(A, p ). , =d ( Γ , ∇ ) où Γ 28. Calculer, pour p∈ { 0, 1,2, 3 } p p est la matrice exemple de la partie I. Fin de l’énoncé.