Mathématiques 2 2004 Classe Prepa MP Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

SESSION 2004

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ ´` EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP

´ MATHEMATIQUES 2

Dur´ee:4heures

Les calculatricessont interdites. * * * NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclart´e,`alapre´cisioneta`laconcisiondela re´daction. Siuncandidatestamene´a`rep´erercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignalerasur sacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ila´ete´amene´ `aprendre. Fonctions de matrices Notations : 1. LesR:ssteanivsuesbr`egla-exteecetursdaucoe´se´drenoisnoct Ialg`L’ebreM n (Reer´es´eord’esllerdamrtd)seacrrcisen. ∞ ISiIest un intervalle deRnoonte,d’in´treeiruonvndi,eC’al`selgcerbummoitatedev I ∞ fonctions de classeCdeIdansR. Itcnofsederbe`glaesalminolyponsioedL’IdansRerbe’la``glaseutusleentifi´eelementidR[X]. 2. Ony rencontre aussi lesR-espaces vectoriels suivants : Ienrslonoel`se´leL’esdescpaceanliesgnt´noeM n,1 (R). IL’espaceR N [X] ={P∈R[X]|degP6N},`ouN∈N. 3. Lesnotions de convergence dansM n,1 (R) etM n (R) sont relatives aux normes respectives : t IkXk ∞ = max|x k |, siX= [x 1 , . . ., x n ]. 16k6n IkMk=nmax|m i,j |, siM= [m i,j ] 16i6n . 16i,j6n 16j6n

Objectifsduprobl`eme LorsqueP∈R[X] etA∈M n (Rnerutdonnsai),oirecmata`slasnneP(A) et l’on maˆıtrise bien le calcul polynomial surAucitreilis,qiuenr´esulte.EnparMest une matrice deM n (R), on appelle polyn ˆ omeminimaldeMemoˆnyloeriatinulepPsbluepdl´qetgerdeuaesP(Mtaimitsde´m=0)le;i n (etonl’admettra)qu’ils’agitdupolynˆomeminimaldel’endomorphismeudeRdontMest la matrice n dans la base canonique deR. Dansunpremiertemps,cetexteproposededonnerunsens`alamatricef(A)pour toute fonction ∞ fde classeChypotdessescth`eecal,tennnaomeyrlamessunablonveectairA. Autrementdit,onapprend`amaıˆtriseruncertaincalculfonctionnelsurA. Dansunsecondtemps,onexploitecesre´sultatspourr´esoudreunsyst`emediff´erentielline´aire.

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Notationsfixe´espourtoutleprobl`eme: IernumetairecOnconsid`eAdeM n (R) et l’onsupposeeuqpnosnyloemoˆamΠlimin A ˆttepuecritre´e m 1 m r ´ sous la forme : Π A (X) = (X−λ 1 ). . .(X−λ r :) avecr>1 ;lesλ j sont desreelsdistincts ; P ∗ lesm j sont dansN. On note alorsm=m j lΠeedr´eged A . 16j6r IsiuneausrvalintecnOelre`disnoIdeRd,e´iri’tnrneuvionetdentconaneuottselsλ j . La matriceAet l’intervalleIrudsuaoc´tsertiame.bl`euprolsnadse´siraluciesplemexrsvediesostnaptr Pr´eliminaires: ´ 1.Etablir que pourXdansM n,1 (R) etMdansM n (R), on a :kM Xk6kMk kXk. ∞ ∞ 2.SoitMun sous-espace vectoriel de dimensiond>1 deM n (R), et soitβ= (B 1 , . . ., B d ) une base deM. a)rtreMnoemroneunitfin´end’oelquNsurMen posantN(M) =max|x k |, si 16k6d P M=x k B k nettisideon´el’eml´ealtsce´dopmoMdeMsur la baseβ. 16k6d b)Justl’exifierel´esrteictrssledecnetsinatsnocetisisvemetepontaetbtnafi:vire´ ∀M∈ M, akMk6N(M)6bkMk. P c)Soit (M p ) p∈N eneml´´ed’teuiesnuedstM; on noteM p =x p (k)B k lad´itnoopiscemo 16k6d deM p surβ. Montrer que la suite (M p ) p∈N converge vers 0 dans (M n (R),k∙k) si et seulement siuseuqahcel ´ eeritle(x p (k)) (k= 1, . . ., d) converge vers 0. p∈N ∞ IUnerelationd’e´quivalencesurC I ∞ On convient de dire que des fonctionsfetgdeC«co¨ıncident sur le spectre deA»lorsque : I (k) (k) ∀j∈ {1, . . ., r},∀k∈ {0, . . ., m j −1}, f(λ j ) =g(λ j nioatemuse´rntonalrap).el’oCequf=g. A 20 0 Un exemple : si Π A (X) =X(Xla notation+ 1)f=gsignifie :f(0) =g(0),f(0) =g(0) et A f(−1) =g(−1) ∗ ∞(k) 3.Soient`dansN,λdansIetfdansC´eriv:afitnf(λ) = 0 pourk= 0,1,2, . . ., `−1. I Z x ` −1 (x−u) (`) ´ a)entit´e:rilbdi’latE∀x∈I, f(x) =f(u) du. (`−1)! λ b)cnetu’deofenitcnoncnahdeu’nedtgnmeiablevarexise,l’Eirdu´endid’aale`hvri´entfia: ` (1)∀x∈I, f(x) = (x−λ)h(x) ∞ (2)h∈C I ∞ 4.SoientfetgdansC. I ∞ a)On suppose :∃h∈C ,f=g+hΠ A . I Enconsid´erantlesde´rive´essuccessivesdef−g,´eulirqetabf=g. A ∞ b)On supposef=g; en exploitant le3.justifier l’existence dehdansCanifit:erv´ I A f=g+hΠ A . 5.SoientPetQdansR[Xt´onssteanivsuns:setnelaviuqerouv];ptioiocdnlesereuq (1)P=Q A (2)∃H∈R[X], P=Q+HΠ A . IID´efinitiondelamatricef(A) m A.Onconsid`erecilppa’lnoitaϕdeR m−1 [X] versRˆomeuiqic`esaoslonyuapnPlem-uplet :      (k 1 ) (k r ) ϕ(P) =P(λ 1 )P, . . .,(λ r ) . 06k 1 6m 1 −1 06k r 6m r −1 2

´ 6.acartce`atlbrieldeifEbirectjeϕ. ∞ 7.SoitfdansC; jus I e’lrefiitecnetsixd’etund’poulseunmoeylˆnP f deR[Xru,]gr´ededeerieinf´ ´ oue´gala`(m−1) et tel que :f=P f . On convient alors dedefinirla matricef(A) en posant : A f(A) =P f (A). B. Quelques exemples N P k 8.On suppose ici quefeeal’otllypominoetsce´n:tir∀x∈I, f(x) =a k x. k=0 Eneffectuantunedivisioneuclidienne,montrerqu’aveclade´finitiondelaquestion7, on obtient N P k lere´sultatnaturel:f(A) =a k A. k=0   5−4 9.Ici:A=∈M 2 (R) etI=R. 4−3 a)Calculer Π A (X). b)Calculer la matricef(A) dans chacun des cas suivants : (1)f(x) =ax+blessr´e,leaetb´dtnotena.esn´ (2)f(x() = sinπx) 2∞ (3)f(x) = (x−1)g(xalu`cnofontio,)gnndoed´enassteC. I

III-Lecalculsyste´matiquedef(A) A.Uneformulege´n´erale 10.i’osnaltoltienpx´eaielinhismmorpreEϕduII.A’unicit´edepolynoˆemsju,ifist’lresixecnetltee Q j,k (16j6r,06k6m j −1:tnfiari´e)v P P ∞(k) pourtoutefonctionfdeC, on a :P f =f(λ j )Q j,k I 16j6r 06k6m j −1 Onconsid`erealorslesmatricesdites«aseei´ocss»`aA: Z j,k =Q j,k (A) (16j6r,06k6m j −1). 11.Montrer que les diverses matricesZ j,k peneni´dseteadtnin´eontlmentairese:qu P P ∞(k) ∀f∈C I , f(A) =f(λ j )Z j,k . 16j6r 06k6m j −1 B. Deux exemples   5−4 ∗ 12.Ici:A= etI=R. + 4−3 a)Justifier l’existence de matricesZ 1 etZ 2 deM 2 (R) telles que : ∞ 0 ∀f∈C ,f(A) =f(1)Z 1 +f(1)Z 2 . I b)de ´ deriunEle calcul deZ 1 etZ 2 . √ 2004α∗ c)Calculer les matricesA,Aeng´usplmelera´etentApourαdansR. +   1−1 1   13.Ici:A = 2−2 1 ∈M 3 (R) etI=R. 1−1 0 a)´ePrntseosreofsufemrotcaris´eelepolynˆomΠe A (X). La matriceAest-elle diagonalisable dansM 3 (R) ? b)Calculer les matricesZ j,k «seei´assco»`aA.

IV Uncalcul fonctionnel sur la matriceA A.Quelquesidentit´esbiennaturelles

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