Mathématiques 2 2004 Classe Prepa PC Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Concours CCP 2004 Epreuvesp´ecifique-Fili`erePC MATHEMATIQUES 2 Dure´e:4heures

Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, a`lapre´cisionet`alaconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamene´a`repe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonce´, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilae´t´eamen´ea`prendre. **** LapartieIIpeutˆetretrait´eeind´ependammentdespartiesIetIII.

Partie I +∞ X −s n Onconside`relase´rieenti`eren zde la variable complexezu,`osest un nombre n=1 r´eeldonn´e.

I.1re`e.imrete´Dyarelrenondeconvergencedceteet´sreeineit iθ I.2Dans cette question,z=e.drbcennmonguee´isule1emodexedompl +∞ X −s n I.2.1Etudiez la convergence den znalscesao`uds >1 ainsi que dans le n=1 casou`s≤0. +∞ X −s n I.2.2asecu0o`Dslan< s≤negrevnoedecet,´1acrlieudn zpourz= 1. n=1 I.2.3oTjuadsnuosrcale`uso0< s≤1, on suppose quez6= 1.On poseS 0 = 0 n X ∗k et pour tout nombre entiern∈N,S n =z. k=1 1 Montrer que|S n | ≤M(θ) pour toutn∈N, avecM(θ) =. θ sin   2 k Ene´crivantzsous la formeS k −S k−1 pour tout nombre entierk∈N, montrer que : n n−1 X X ∗ −s k−s−s−s ∀n∈N, kz=S k [k−(k] ++ 1)S n n . k=1k=1

1

+∞ X −s−s Montrerquelase´rieS n [n−(n+eual´sreeieentndtedu´eeqir)1tse]vnocegre n=1 +∞ X −s n n zest convergente. n=1 +∞ X −s n Nousnoteronsdor´enavantϕ(z, s) la sommen zpour tout couple (z, s)∈C×R n=1 pourlequelcettese´rieestconvergente.

I.3On noteIl’intervalle ouvert ]−1,1 [deR. Z x ϕ(t, s) I.3.1Montrer que pour tout (x, s)∈I×Ron aϕ(x, sd+ 1) =t. t 0 I.3.2Calculerϕ(x,0) etϕ(x,1) pour toutx∈I.

I.4On suppose dans cete question ques >1. ∗ −nt s−1 I.4.1Soitf n lafonctiond´efiinseru0[,+∞[ pour toutn∈Nparf n (t) =e t. Z +∞ Montrer quef n es´egrtintus[rbael0,+∞[ et exprimerf n (t) dtde`aail’ 0 Z Z +∞+∞ −t s−1 den,srglaΓe(lti’tne´es) =e tdt=f 1 (t) dt. 0 0 I.4.2Soitzontra1.Meerqucorembnounelniomudexedpmelgal`ou´eieurf´er +∞ X n lase´riez f n (tlbairavaellee´rencfode)elsdontitreema`estint´egrablet n=1 terme sur ]0,+∞[. End´eduirequepourtouts >1 et pour toutz∈Ctel que|z| ≤1, on a Z +∞ s−1 z t (1)ϕ(z, s) =dt. t Γ(s) 0 e−z

Partie II +∞ X −s Pourtoutnombrere´els >1, on poseζ(s) =ϕ(1, s) =n. n=1 II.1Montrer queζedelvabliablavareefunsteniioctonminfie´dnire´dtnessur ] 1,+∞[. II.2Montrer queζssantesur]1eststtcirnemee´dtiorc,+∞[. II.3Montrer que pour touts∈] 1,+∞[, on a : Z +∞ −s 0≤ζ(s)−1≤tdt≤ζ(s). 1 Ende´duirelalimitedeζ(s) lorsquestend vers +∞aveltnur´nqeiueretnemiD´. deζ(s) lorsqueser`s1a.pue´iruevaleutresnsdvers1par 2

Partie III III.1Soitglednravanofaoitcelleliabler´exd´enfieiap:r   2 π−x (i)g(x) =pour toutx∈[ 0,2π[ 2 (ii)gptse2oiedp´eruedeodiq´eriπ.

III.1.1Montrer quegaprietsevele.D´roppegenedeire´srreiruoF.Eleel´eerditu l’e´galit´eentregedeiruoF.reietlasommedesas´er III.1.2Calculer les valeurs deζ(2) etζ(4u,)`oζlansdaiefin´endionotcltfase partiepre´ce´dente.

iθ III.2SoitθunneleO.nntomorbree´Rϕ(θrtpar´iela)lleeedeϕ(e ,o)u2`ϕest la fonctionde´finie`alaquestionI.2.

III.2.1ExprimezRϕ(θdedieal’a)`g(θ). III.2.2ndEdu´eeqirpoueruottuθ∈Ron a : Z +∞ t 2 t(ecosθ−1) π dt=g(θ)−. 2t t 0 e−2ecosθ+ 1 12 III.2.3e´Ds:let´inraegdrselaueleva`cdepr´eequiedecduir

Z Z Z +∞+∞+∞ t tt I 1 = dt I 2 = dt I 3 = dt t t e−1e+ 1 sht 0 0 0 III.3Soitse´letsiurnnmorbreositif.ctementp III.3.1Montrer que pour toutθ∈Re´:slati´sgeolena Z s t +∞ X +∞ t(ecosθ−1) −(s+1) dt= Γ(s+ 1)ncosnθ, 2t t 0 e−2ecosθ+ 1 n=1 Z +∞ s t X +∞ t esinθ −(s+1) dt= Γ(s+ 1)nsinnθ. 2t t 0 e−2ecosθ+ 1 n=1 III.3.2s:leraeg´eduEndesexiredisnorpseni´tdsse Z Z +∞+∞ s s t t I(s) =dt, J(sd) =t, chtsht 0 0 +∞+∞ X X −(s+1)k−(s+1) en fonction des sommesS 1 (s) =(2k,+ 1)S 2 (s() =−1) (2k+ 1)et k=0k=0 de Γ(s+ 1).

Findel’´enonce´ 3