Mathématiques 2000 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2000 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2000

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banqued’´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS D’ADMISSION

option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2000

Aucuninstrumentdecalculn’estautoris´e. Aucundocumentn’estautoris´e.

L’e´nonce´comporte3pages

Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’e´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.

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Exercice 1 Onconsid`erelesmatrices     1 0 00 1 00 0 0     I = 01 0 , Aet 0 1= 0 O 0 0= 0 0 0 10 0 00 0 0 Atoutnombrer´eelxonassocielamatrice 2 x 2 M(x) =I+x.A+.A 2 2 3n 1. CalculerAetA,eriude´tuotruoperentindteen >3, la valeur deA. 2. Calculeren utilisant (1) le produitM(x)M(y) et montrer que M(x)M(y) =M(x+y) n 3. Montrerque pour tout entier positifn: (M(x)) =M(nx). reconnaˆıtreM(0). n 4. Ecrireles matriceM(x) et (M(x)) sousforme de tableaux. 5.Justifierl’inversibilit´edelamatriceM(x)assnca`aullcercherchesre.osrevnin 6.D´eterminerl’inversedeM(x) en n’utilisant que la relation (2)   1 4 8   ´ −1n 7. SoitBEcrire sous forme de tableaux les matrices 1 4 .= 0 BetB. 0 0 1 −1 8. Retrouverla valeur deBudedohte.toviptilienulam´sant

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Exercice 2 1.D´eterminerlafonctiondere´partitiond’unevariableal´eatoireYsuivant la loi uniforme sur [0,1]. Troispersonnesontconvenudeseretrouvera`lagarepouremprunterlemeˆmetraindebanlieue. L’originedestempsestprise`a17hetl’unite´detempsestl’heure. Pourkraetappa`antn{1,2,3},onignedpa´resY k oerm´nuned’areurel’hsrnoalepeeedir´vk. On suppose que les trois variablesY k unoiorifenivaltlusem0[rsontintnseteus´dpenead,1] (ce qui signifie que les trois personnes arrivent au hasard entre 17 h et 18 h).

2. On noteXtnateh’lderurra’´eiveledalvaraailbae´leatoirerepr´esenerd`erneipersonne (qui n’est pas force´mentlapersonnenum´ero3!). (a) Soitturn0[aenrtt`anel´epaap,1]. Exprimerl’´ev´enement(X6toidnsee´e)fnnotcnemene´v(stY 1 6t),(Y 2 6t),(Y 3 6t). (b)End´eduirelafonctionder´epartitiondeXque l’on noteraG. (c)D´eterminerunedensit´edeXdeetl’esp´eranceX. 3.Lespersonnespeuventempruntertroistrainsa`17h20,17h40et18h(cequicorrespond,danslerep`ere 1 2 de temps choisi, aux instants,et 1). 3 3 `eme Pourjraetantn`aapp{1,2,3}on appelleE j elentnrpnennsespoisoer”lt:tresne´vnemee´’ljtrain ”. Exprimerl’e´ve´nementE j blial´eatoeaeiraraveledid’aal`Xobabilit´e.siupclacrelurpas 4.Onde´signeparAomedretnl´’ventmene´eemprLa:”repere`irraennoseattiv´eoinsendmimuned02avtnetas dans le train avec ses amis. (a)Exprimerles´ev´enementsA∩E 1 ,A∩E 2 ,A∩E 3 en fonction des variablesY 1 ,Y 2 ,Y 3 . (b)De´termineralorslaprobabilit´edeA.

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Exercice 3 √ Onconside`relafonctionfd´efiniepar:f(x2) =−lnx 1. 2 (a)Montrerqueledomainedede´finitiondefest l’intervalle ]0,e]. (b)De´terminerleslimitesdefaux bornes de ce domaine. ´ 2.Etudierlesvariationsdefettracersacourberepr´esentative. 3. Montrerque l’image par f de l’intervalle [1,e] est contenue dans l’intervalle [1,e]. 4.Montrerquel’e´quationf(x) =xadmet une solution unique a sur l’intervalle [1,e]. 2 (Onpourrae´tudierlafonctionauxiliairegde´finiepar:g(x) =x+ ln(x)−2). 5.Commentobtenirgraphiquementunvaleurapproch´eedeau2ea)?trbe´eacedalocruamuyone 6.Onconside`relasuited´efinieparr´ecurrencepourtoutentiernaturelnpar : u 0 = 1 etu n+1 =f(u n ). (a)Montrera`l’aidedel’in´egalite´sdesaccroissementsfinisque: 1 |u n+1 −a|6|u n −a| 2 (b)De´terminerunentierntel que −3 |u n −a|610 (c) Quelleest la limite de la suite (u n ) quand n tend vers +∞? FIN DE L’EPREUVE

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