Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

ECRICOME

CONCOURS D’ADMISSION 2002

option´economique

´ MATHEMATIQUES

mercredi22mai2002,de8h`a12h. dure´e:4heures

Aucuninstrumentdecalculn’estautorise´. Aucundocumentn’estautorise´. Lescandidatssontinvite´sa`soignerlapr´esentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’´enonc´e,eta`donnerdesd´emonstrationscompl`etes(mais bre`ves)deleursaffirmations.

1 EXERCICE Dans l’ensembleM 3 (Rmaesictr)dcientsr´e3`acoeffise’drordseacrre´lembseens-oueselre`disnocno,sleeEdes matricesM(a, br:espaefini)d´   b a b   M(a, b) = a b b . b b a Ainsi :   E=M(a, b)a, b∈R. 3 On notef a,b l’endomorphisme deRrepr´esente´aplrmatairecM(a, b) dans la base canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 ) 3 deR.

1.1 StructuredeE. 1. MontrerqueEest un sous-espace vectoriel deM 3 (R). 2. Donnerune base deE, ainsi que sa dimension. ´ 1.2 Etuded’un cas particulier. On poseA=M(1,0). 2−1 1. CalculerA.Endeuireq´eduAest une matrice inversible et exprimerAen fonction deA. 2.D´eterminerlesvaleurspropresdeA. 3 3. Trouverune base deRdans laquelle la matrice def 1,0 est :   1 00   0 10 . 0 0−1 1.3Diagonalisationdes´el´ementsdeEet application. 3 Onconsid`erelesvecteursdeRsuivants : ~u= (1,1,1)~v,= (1,−1,0),w~= (1,1,−2). 1. Justifierque les matrices de l’ensembleEsont diagonalisables. 3 2. MontrerqueC= (u~~,,vw~) est une base deR.

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´ 3. OnnotePla matrice de passage de la baseB`alabaseC. EcrireP. −1 4.D´eterminerP. 5. Exprimerles vecteursf a,b (u~),f a,b (v~),f a,b (~w) en fonction de~u,v~,~w. 6.End´eduirel’expressiondelamatriceD a,b def a,b dans la baseC. 7.Justifierl’´egalite´: −1 P M a,b P=D a,b . 8.Donneruneconditionne´cessaireetsuffisanteportantsuraetbpour queD a,b soit inversible. 9.Cetteconditione´tantr´ealis´ee,d´eterminerlamatriceinversedeD a,b . 10.Donneruneconditionn´ecessaireetsuffisanteportantsuraetbpour queM a,b soit inversible.

2 EXERCICE. Onconsid`erelafamilledefonctions(f n ) n∈N d]urssiefin´e−1,+∞[ par : ∗ n f n (x) =xln(1 +x). ´ 2.1 Etudedes fonctionsf n . ∗ Soitn∈N. On noteh n ]rualontincfoesniefid´−1,+∞[ par : x h n (x) =nln(1 +x) +. 1 +x ´ 1. Etudierle sens de variation des fonctionsh n . 2. Calculerh n igneelesduirnd´eiues)0p,(edh n . ´ 3. Etudedu cas particuliern= 1. 0 (a)Apre`savoirjustifi´elad´erivabilite´def 1 sur ]−1,+∞[, exprimerf 1 x) en fo ( nctiondeh 1 (x). (b)Ende´duirelesvariationsdelafonctionf 1 sur ]−1,+∞[. ∗ 4. Soitn∈N\ {1}. 0 (a)Justifierlad´erivabilit´edef n sur ]−1,+∞[ et exprimerf(x) en fonction deh n (x). n (b)End´eduirelesvariationsdef n sur ]−1,+∞[. (On distinguera les casnpair etnmiapri.)seraOnpr´eci leslimitesauxbornessans´etudierlesbranchesinfinies. ´ 2.2 Etuded’une suite. Onconsid`erelasuite(U n ) ∗ de´r:paiefin n∈N Z 1 U n =f n (x)dx. 0 2.2.1 CalculdeU 1 . 1.Prouverl’existencedetroisre´elsa,b,ctels que : 2 x c ∀x∈[0,1],=ax+b+. x+ 1x+ 1 2.End´eduirelavaleurdel’inte´grale: Z 1 2 x dx. x+ 1 0 1 3. MontrerqueU 1 = . 4

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2.2.2 Convergencede la suite(U n ) ∗ . n∈N 1. Montrerque la suite (U n ) ∗ est monotone. n∈N 2. Justifierla convergence de la suite (U n ) ∗ . (On ne demande pas sa limite.) n∈N 3.D´emontrerque: ln 2 ∗ ∀n∈N,06U n 6. n+ 1 4.Ende´duirelalimitedelasuite(U n ) ∗ . n∈N 2.2.3 CalculdeU n pourn>2. ∗ Pourx∈[0,1] etn∈N\ {1}, on pose : n X 2n nk k S n (x) = 1−x+x+∙ ∙ ∙+ (−1)x= (−1)x . k=0 1. Montrerque : n n+1 1 (−1)x S n (x) =+. 1 +x1 +x 2.Ende´duireque: n Z X k 1 n+1 (−1)x n = ln2 + (−1)dx. k1 ++ 1x 0 k=0 3.Enutilisantuneint´egrationparpartiesdanslecalculdeU n , montrer que :   n kn ln 2(−1) 1(−1) (−1) U n ln 2= +−1−+∙ ∙ ∙+ +∙ ∙ ∙+. n+ 1n2+ 1k+ 1n+ 1 3 EXERCICE. Uneurnecontientunebouleblancheetuneboulenoire,lesboulese´tantindiscernablesautoucher. Onypr´el`eveuneboule,chaquebouleayantlamˆemeprobabilite´d’eˆtretire´e,onnotesacouleur,etonlaremet dans l’urne aveccssioucceunesinsisiaee´lao,rnueevpr´eteetecetp`´ernO.ee´riteluobauleurdelesdelacooblun dentirages (n>2). ´ 3.1 Etudedu casc= 0. On effectue donc icintirages avec remise de la boule dans l’urne. On noteX´reeioergelall´eriablava´eatlealuoeldebemorbaenuenuesobtnchesblasedsruocuasntirages etY lavariableale´atoirer´eelled´efiniepar: ( ie`me Y=kemi`laproisaereftku.eriganeitenut’lisbonohencurpoulbolaeb Ysi les= 0nbirstleoutnossee´.serion 1.D´eterminerlaloideX. Donner la valeur deE(X) et deV(X). 2. Pourk∈ {1, . . . , n}et´libibaroaplrenimrete´d,P(Y=knt(enemvee´le´’d)Y=kd´etpuisimr)e,ren P(Y= 0). 3.Ve´rifierque: n X P(Y=k) = 1. k=0 4. Pourx6= 1 etnentier naturel non nul, montrer que : n n+2n+1 X nx−(n+ 1)x+x k kx=. 2 (1−x) k=1 5.Ende´duireE(Y).

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´ 3.2 Etudedu casc6= 0. Onconside`relesvariablesal´eatoires(X i :raps)einfie´d 1≤i≤n ( `eme X i = 1si on obtient une boule blanche au itirage. X i sinon.= 0 Onde´finitalors,pour2≤p≤navariableal´eatoriel,Z p , par : p X Z p =X i . i=1 1.Querepr´esentelavariableZ p ? 2. Donnerla loi deX 1 lte’earcnpese´E(X 1 ) deX 1 . 3.De´terminerlaloiducouple(X 1 , X 2 deoialelirdu´ednE.)X 2 ´prenaecupsi’lseE(X 2 ). 4.D´eterminerlaloideprobabilit´edeZ 2 . 5.D´eterminerl’universimageZ p (Ω) deZ p . 6. Soitp≤n−1. (a)De´terminerP(X p+1 = 1/Z p =k) pourk∈Z p (Ω). (b)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque: 1 +cE(Z p ) P(X p+1 = 1) =. 2 +pc 1 (c)Ende´duirequeX p otaederilbai´laedelirapaereBulno.`mteerevarstune 2 (Onraisonneraparr´ecurrencesurp: les variablesX 1 ,X 2 , ...,X p ants´ets´eeupporvuessiudieenol 1 deBernoullideparame`tre,etoncalculeraE(Z p )). 2

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