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Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

4 pages
Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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ECRICOME
CONCOURS D’ADMISSION 2002
option´economique
´ MATHEMATIQUES
mercredi22mai2002,de8h`a12h. dure´e:4heures
Aucuninstrumentdecalculnestautorise´. Aucundocumentnestautorise´. Lescandidatssontinvite´sa`soignerlapr´esentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel´enonc´e,eta`donnerdesd´emonstrationscompl`etes(mais bre`ves)deleursarmations.
1 EXERCICE Dans l’ensembleM3(Rmaesictr)dcientsr´e3`acoesedrordseacrre´lembseens-oueselre`disnocno,sleeEdes matricesM(a, br:espaeni)d´   b a b   M(a, b) =a b b . b b a Ainsi :   E=M(a, b)a, bR. 3 On notefa,bl’endomorphisme deRrepr´esente´aplrmatairecM(a, b) dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3) 3 deR.
1.1 StructuredeE. 1. MontrerqueEest un sous-espace vectoriel deM3(R). 2. Donnerune base deE, ainsi que sa dimension. ´ 1.2 Etuded’un cas particulier. On poseA=M(1,0). 21 1. CalculerA.Endeuireq´eduAest une matrice inversible et exprimerAen fonction deA. 2.D´eterminerlesvaleurspropresdeA. 3 3. Trouverune base deRdans laquelle la matrice def1,0est :   1 00   0 10. 0 01 1.3Diagonalisationdes´el´ementsdeEet application. 3 Onconsid`erelesvecteursdeRsuivants : ~u= (1,1,1)~v,= (1,1,0),w~= (1,1,2). 1. Justifierque les matrices de l’ensembleEsont diagonalisables. 3 2. MontrerqueC= (u~~,,vw~) est une base deR.
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´ 3. OnnotePla matrice de passage de la baseB`alabaseC. EcrireP. 1 4.D´eterminerP. 5. Exprimerles vecteursfa,b(u~),fa,b(v~),fa,b(~w) en fonction de~u,v~,~w. 6.End´eduirelexpressiondelamatriceDa,bdefa,bdans la baseC. 7.Justierl´egalite´: 1 P Ma,bP=Da,b. 8.Donneruneconditionne´cessaireetsusanteportantsuraetbpour queDa,bsoit inversible. 9.Cetteconditione´tantr´ealis´ee,d´eterminerlamatriceinversedeDa,b. 10.Donneruneconditionn´ecessaireetsusanteportantsuraetbpour queMa,bsoit inversible.
2 EXERCICE. Onconsid`erelafamilledefonctions(fn)nNd]urssien´e1,+[ par : n fn(x) =xln(1 +x). ´ 2.1 Etudedes fonctionsfn. SoitnN. On notehn]rualontincfoesnied´1,+[ par : x hn(x) =nln(1 +x) +. 1 +x ´ 1. Etudierle sens de variation des fonctionshn. 2. Calculerhnigneelesduirnd´eiues)0p,(edhn. ´ 3. Etudedu cas particuliern= 1. 0 (a)Apre`savoirjusti´elad´erivabilite´def1sur ]1,+[, exprimerf1x) en fo ( nctiondeh1(x). (b)Ende´duirelesvariationsdelafonctionf1sur ]1,+[. 4. SoitnN\ {1}. 0 (a)Justierlad´erivabilit´edefnsur ]1,+[ et exprimerf(x) en fonction dehn(x). n (b)End´eduirelesvariationsdefnsur ]1,+[. (On distinguera les casnpair etnmiapri.)seraOnpr´eci leslimitesauxbornessans´etudierlesbranchesinnies. ´ 2.2 Etuded’une suite. Onconsid`erelasuite(Un)de´r:paien nN Z 1 Un=fn(x)dx. 0 2.2.1 CalculdeU1. 1.Prouverlexistencedetroisre´elsa,b,ctels que : 2 x c x[0,1],=ax+b+. x+ 1x+ 1 2.End´eduirelavaleurdelinte´grale: Z 1 2 x dx. x+ 1 0 1 3. MontrerqueU1= . 4
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2.2.2 Convergencede la suite(Un). nN 1. Montrerque la suite (Un)est monotone. nN 2. Justifierla convergence de la suite (Un). (On ne demande pas sa limite.) nN 3.D´emontrerque: ln 2 nN,06Un6. n+ 1 4.Ende´duirelalimitedelasuite(Un). nN 2.2.3 CalculdeUnpourn>2. Pourx[0,1] etnN\ {1}, on pose : n X 2n nk k Sn(x) = 1x+x+∙ ∙ ∙+ (1)x= (1)x . k=0 1. Montrerque : n n+1 1 (1)x Sn(x) =+. 1 +x1 +x 2.Ende´duireque: nZ X k1n+1 (1)x n = ln2 + (1)dx. k1 ++ 1x 0 k=0 3.Enutilisantuneint´egrationparpartiesdanslecalculdeUn, montrer que :   n kn ln 2(1) 1(1) (1) Unln 2= +1+∙ ∙ ∙+ +∙ ∙ ∙+. n+ 1n2+ 1k+ 1n+ 1 3 EXERCICE. Uneurnecontientunebouleblancheetuneboulenoire,lesboulese´tantindiscernablesautoucher. Onypr´el`eveuneboule,chaquebouleayantlamˆemeprobabilite´deˆtretire´e,onnotesacouleur,etonlaremet dans l’urne aveccssioucceunesinsisiaee´lao,rnueevpr´eteetecetp`´ernO.ee´riteluobauleurdelesdelacooblun dentirages (n>2). ´ 3.1 Etudedu casc= 0. On effectue donc icintirages avec remise de la boule dans l’urne. On noteX´reeioergelall´eriablava´eatlealuoeldebemorbaenuenuesobtnchesblasedsruocuasntirages etY lavariableale´atoirer´eelled´eniepar: ( ie`me Y=kemi`laproisaereftku.eriganeitenutlisbonohencurpoulbolaeb Ysi les= 0nbirstleoutnossee´.serion 1.D´eterminerlaloideX. Donner la valeur deE(X) et deV(X). 2. Pourk∈ {1, . . . , n}et´libibaroaplrenimrete´d,P(Y=knt(enemvee´le´d)Y=kd´etpuisimr)e,ren P(Y= 0). 3.Ve´rierque: n X P(Y=k) = 1. k=0 4. Pourx6= 1 etnentier naturel non nul, montrer que : n n+2n+1 X nx(n+ 1)x+x k kx=. 2 (1x) k=1 5.Ende´duireE(Y).
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´ 3.2 Etudedu casc6= 0. Onconside`relesvariablesal´eatoires(Xi:raps)eine´d 1in ( `eme Xi= 1si on obtient une boule blanche au itirage. Xisinon.= 0 Onde´nitalors,pour2pnavariableal´eatoriel,Zp, par : p X Zp=Xi. i=1 1.Querepr´esentelavariableZp? 2. Donnerla loi deX1lteearcnpese´E(X1) deX1. 3.De´terminerlaloiducouple(X1, X2deoialelirdu´ednE.)X2´prenaecupsilseE(X2). 4.D´eterminerlaloideprobabilit´edeZ2. 5.D´eterminerluniversimageZp(Ω) deZp. 6. Soitpn1. (a)De´terminerP(Xp+1= 1/Zp=k) pourkZp(Ω). (b)Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales,montrerque: 1 +cE(Zp) P(Xp+1= 1) =. 2 +pc 1 (c)Ende´duirequeXpotaederilbai´laedelirapaereBulno.`mteerevarstune 2 (Onraisonneraparr´ecurrencesurp: les variablesX1,X2, ...,Xpants´ets´eeupporvuessiudieenol 1 deBernoullideparame`tre,etoncalculeraE(Zp)). 2
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