Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 142
• Langue: Français

Extrait

Ecricome 2002, option scientifique.

EXERCICE 1 Eurleielsscorpd´igesnuenapseevecrotcCdes nombres complexes. Id E ’iled´eitntdeE, Θ l’endomorphisme nul. C[X]’lnespolynˆosembledeeicfficstn`semeoca.plomesex Pour toutn,C n [Xdede´egre´eserrp]edesembl’ensntelffieoca`semoˆnylops,xelempcotsenci inf´erieuroue´gala`l’entiern. n Sigest un endomorphisme deEtniefid´,nogpar :  0 g=Id E n n−1 ∗ g=g◦g, n∈IN p PourtoutpolynoˆmePdeC[X] tel que :P(X) =a 0 +a 1 X+∙ ∙ ∙+a p X, on noteP(g) p l’endomorphisme deE`a:´egalP(g) =a 0 Id E +a 1 g+∙ ∙ ∙+a p g. OnrappellequepourtouspolynˆomesP,QdeC[X], on a : (P Q)(g) =P(g)◦Q(g) =Q(g)◦P(g) 3 2 Onde´signeparTedemoˆynoleplC[Xpar:infie´d]T(X) = 3X−X−X−1 et parfun endomorphisme deEsoiisantsiaf`tnaralataleT(f) = Θ. Lebutdel’exerciceestd’e´tudierlasuitedespuissancesdel’endomorphismef.

1)enicee´ruesaareledlleque1estlMontrerT. Soientαetαnonsenicsellee´ruxdeeslraestrau etconjugu´ees.Calculerα+αetαα. 2)d´Onigespanerϕatoutpolynˆomelppataciqnoi`,iul’PdeC[X] associe le reste dans la division euclidienne dePparT. a)ladimedeor`eth´ereelppleaRantes.e´rciossssnaecdslentuispssmevauilopsoˆnyisivedno b)Montrer queϕest un endomorphisme deC[X]. c)L’endomorphismeϕ? Est-il surjectif?est-il injectif 3)On noteL 1 , L 2 , L 3 fin´esdmeˆoynolsp,elrapsi L 1 (X) = (X−1)(X−α), L 2 (X) = (X−1)(X−α), L 3 (X) = (X−α)(X−α) a)Montrer que (L 1 , L 2 , L 3 ) est une base deC 2 [X]. 3 b)Montrer que pour toutnde IN, il existe un unique triplet (a n , b n , c n ap)rtpananea`tCtel que : n ϕ(X) =a n L 1 +b n L 2 +c n L 3 1 et exprimera n ,b n ,c n en fonction deα,α,nrefiire´V.quec n = . 2 c)Prouver que pour toutnde IN : n f=a n L 1 (f) +b n L 2 (f) +c n L 3 (f) d)Justifier la convergence des suites (a n ), (b n ), (c n lseer´estiecspresfdsrev)a,b,c. 4)On poseh=aL 1 (f) +bL 2 (f) +cL 3 (f). 1 2 a)Montrer queh= (3f+ 2f+Id E ). 6 b)Prouver enfin quehest un projecteur.

EXERCICE 2 Onseproposeicid’e´tudierlase´riedetermege´ne´ral n u n (x) =a n x o`uxteseutelqunr´enqueelcoa n rnu,fie´dlee´rpani Z 1   n 2 1 +t a n = dt, n∈IN 2 0

1)Etudedel’absolueconvergencedelas´erie. a)Prouver que pour toutnentier naturel : 1 2 ≤a n ≤ n+ 1n+ 1 b)Pour|x|al,1=´nrelatermeg´es´eriedeu n (x) est-elle absolument convergente? c)Dennorus,etairecessffisanetsuocdnurennne´tioixedri´easg´meeret,leuqruopnee´arlu n (x) soit absolument convergente. 2)Sommedelas´eriepour−1≤x <1. On suppose maintenant,−1≤x <1. 3 2 a)Pourt∈[0,1], montrer que :2−x−xt≥(1−x). 2 Z 1 2 dt b)e:nt´egral.stJuerifidecni’lexe’letsi 2 2−x−xt 0 Z 1 2 dt c)On pose :f(x.) = 2 2−x−xt 0 Montrer que pour tous les entiers naturelsn: n n +1 X 8|x| f(x)−u k (x)≤  3(n+ 2)(1−x) k=0 d)lanE´ddeiurelaconvergenceeltsamoemedal´sreiedetermeg´en´eru n (x). e)Donner la valeur dea 0 etnavius:ui,pbail´steletalrraer´eiondencecurr ∀k∈IN,(2k+ 3)a k+1 = 1 + (k+ 1)a k −p f )’otdenbtmeeranttarueorppnurilaveireenPASEcrrotimhpeACuLangledech´ef(xa10)` pre`s,lere´elxet l’entierpntta´ese´.nnodse´soppus

` PROBLEME

Deux biensC 1 etC 2 ontdisponiblessuminedtvisibielssndifin´ean“pleelriehcramelrppanO.e´ de biens” tout couple (x, ynomb)de´eelresresneelbmntnal’`appsatearDsuivant : D={(x, y)/0≤x,0≤y≤5,2x+ 3y≤19} x,yiensdubit´etnauqseltnemevitecsprentneigesd´C 1 et du bienC 2 evruhnpeiˆuttepeeuq-syqi mentconsomm´esparunagent´economique. Surlemarche´,leprixunitairedechacundecesdeuxbiensest´egala`1. Onconsid`ereunconsommateurayantunrevenue´gala`8. Lespaniersdebiensaccessiblesbudg´etairementparceconsommateurappartiennentdonca` l’ensembleBdes couples (x, y) deDtels quex+y≤8. Lespr´ef´erencesdececonsommateursurBon¸civsutean:´dtninfieedseafal,so 0 0 0 x+20x+2 (x, yuindiff´erent`a()sept´rfee´´roex ,y) si et seulement si (y−3)e≥(y−3)e x+2 L’applicationueiuse´nfirdBpar :u(x, y) = (y−pour (3)e ,x, y)∈Bs’appelle la fonction d’utilit´educonsommateur. PartieI:Propri´ete´sdelarelationdepr´efe´rence. Justifier les propositions suivantes : 1)(x, yre´fe´rptse)t`enerff´diinou´ea(x, y). 0 00 000 00 2)Si (x, yiffndre´e`ant()sept´rfee´´roeiuyx ,) et si (x ,yse)ef´etpr´uindr´eoertnffie´a`(x ,y) 00 00 alors (x, yst)ere´fe´rpidniuoe´(are´ff`tneyx ,). 0 00 0 3)(x, yes)r´tprent`a(iudnffie´fee´´roeyx ,) ou (yx ,ntre´eiffnduieor´e´fe´rptse)a`(x, y). 2

PartieII:Courbesd’indiff´erence.

1)esne’ltnelbmqihpemeuetneargrepResr´Bnad`eepnrsuonthorre(enuro´m1smctie´hacusurcn desaxes)etde´terminerlescoordonne´esdescinqsommetsdupolygoneconstituantlebord deB. 2)Dans ce qui suit, pourmgnep´esi,ond´eelrraA m niefirpael´desbm’lne A m ={(x, y)∈B/u(x, y) =m} a)´Drlafonctetermineiruqeoinnmue´f m , telle que, pourmpourtout´eonait,(txfi´le´nemex, y) deA m ,y=f m (x). b)tuEontiesqualediuleceuqere`erepmˆemnsleerdaestnrpe´teeridreII.1la fonction x7→y=f m (x) pourm=−8,m= 0,m= 8. −2−3−4−5−6−7 (e'0.14,e'0.05,e'0.02,e'0.007,e'0.002, e'0.001 ) c)erinrmteDe´m 0 bruocaleauqe´’dequurponoity=f m 0 (x)tioset(la`aoidrngtateenT) d’e´quation: 2 19 y=−x+ 3 3 Repr´esenterlacourbed’e´quationy=f m 0 (x) sur le graphique. 3 2 (e'20.09,e'7.39,e'2.72 ). PartieIII:Recherched’un´el´ementmaximalsurBoprualeralprdeontienerf´´e.ec 2 1)On admet queBnferestueIRm´edrtreM.noee´lt.soubqnir’ 2)Justifier l’existence d’un couple (x 0 , y 0 ) deBcouples(tauolsse´ffrene`tdiinou´eerf´´eprx, y) deB. o 2 3)On note B e`emutiossolsystnsducoesleupdertdIR’levuo  0< x   0< y <5  2x+ 3y <19  x+y <8 o Montrer queun’admet pas d’extremum local sur B . 4)noitncOneo´fuatnoitamelumixledmeddiscanteetesquusurB, sous la contrainte : 2x+ 3y= 19 a)´da`retemareene`imaxdeumnemiemrlnoalofcnittneroMemesobl`ceprrquegde la variable r´eelle,d´efiniesur[2,5] par : 10−2x x+2 g(xe) = 3 b)juirifistso´exinenets.ec´eteDercerminumamamixasovrpe` 5)ctonnioutEreiddemˆemelarechercehudamixumdmlefausurB, sous chacune des quatre autres contraintes : x+y= 8, x= 0, y= 0, y= 5 6)D´dereuied´rpiuqecalede`ceurduvalele(coupx 0 , y 0 ). PartieIV:Etudededeuxtestsd’arrˆet. Onconside`rel’e´preuvequiconsiste`aeffectuerunese´riedesondagessurunensemblede consommateurs du bienC 1 . Toutepersonneinterroge´esevoitattribuerunnum´ero. ∗ Pour toutiIedl,Nmune´eroX i affeauect´iemoci-e`ametsnmobairavenelrrteinurtues´eog ale´atoire. Les variables (X i ) i∈IN sontmu.daenesntnitnpe´dleutemel ∗ 3