Mathématiques 2002 Concours GEIPI

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 août 2008
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

  Terminale S           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mai 2002

 

     Soit ABC un triangle et A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On considère O le centre du cercle circonscritΓ triangle ABC, G son centre de gravité et H le point défini par au     O H=O A+O B+O C.  1. Comparer les vecteursAHetO A'. 2. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC. 3. Montrer que O, H et G sont alignés. 4. Soit A 1 à O et I le milieu de [HAle symétrique de A par rapport 1 ].  a. Déterminer le réel α tel queO I= α AH. b. Montrer que le symétrique de l’orthocentre H par rapport à A’ est sur le cercleΓ.     

Dans un système de trois équations à trois inconnues, on notera L 1 , L 2  L et 3  trois équations du les système. Dans cet exercice, on appelle opération élémentaire, l’opération qui consiste à remplacer l’équation L 2   par l’équation L 2 − L 1  en soustrayant memebre à membre l’équation L obtenue 1  de l‘équation L 2 . Cette  opération élémentaire sera notéeL 2 ←L 2 −L 1 . 1. Factorisera 2 −b 2 et développer ( a−b ) a 2 +ab+b 2 . 2. On donne trois réel 1 , 2 et 3 vérifiantt 1 ≤t 2 ≤t 3 . a. Résoudre le système (S1)      ( ( t t 1 1 + + t t 3 2 ) ) x x + + y y = = t t 1 2 1 2 + +t t 1 1 t t 2 3 + +t t 2 2 3 2 .   t 2 x+t y+z=t 3  t 1 x t 1 y+z t 1 .ui b. So   les opérations él Donner 2 ) it le système (S2) :    t 2 2 2 3 x + +t 2 3 y+z = =t 3 2 3 3  qémentaires à réaliser sur (S permettent d’utiliser l’étude du système (S 1 ) pour résoudre le système (S 2 ). c. Résoudre le système (S 2 ). 3. Soit α , , trois réels etla fonction polynôme définie parP(t)=t 3 − α t 2 +t−. a. Montrer que si() admet pour racines les réels 1 , 2  et 3  alors α  solutions d’un, et sont système linéaire de trois équations à trois inconnues. b. En déduire alors les valeurs de α , et en fonction de 1 , 2 et 3 .

     Partie A éa ln 1 +b ln 1 ≤ln 2oùetsont deux ré On étudie l’inégalit a b els > 0 tels que+= 1. Pour cela nous étudierons diverses fonctions.     1. Etude d’une fonction : on considère la fonctiondéfinie sur ]0 ; 1[ parg(x)=ln (1−x)−lnx. a. Résoudre l’équation() = 0. b. Etudier le signe de() en fonction de

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  c. Calculer’() où’ est la dérivée de. x 2. Soit une primitivede, définie sur ]0 ; 1[ parF(x)= 1 g(t)dt. 2 x Calculer en fonction dela valeur de l’intégraleF(x)= 1 g(t)dtà l’aide d’une intégration par parties où 2 on posera :u(t)=g(t)etv'(t)=1. On détaillera les calculs.     On considère maintenant la fonctiondéfinie sur [0 ; 1] par :     f f f 0 ( ( ( 1 x ) ) ) = =0 1 −xlnx−(1−x)ln(1−x) six∈] 0 ; 1[ .  =  On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O;i,j).

1. Montre que que la courbe C deadmet la droiteΔd’équationx= 2 1 comme axe de symétrie. 2. Calculer’() la dérivée depour tout ; 1[.de ]0 3. Calculerlim + f(x) . Donner le détail des calculs. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. x→0 x Que peutAon dire de la tangente à C en 1 ? (rappel : lim ln(1+x) =1) . x→0 x valeur exacte de 1 4. Dresser le tableau de variation de; calculer laf    2    . 5. Tracer la courbe desoigneusement avec les tangentes ou demiAtangentes obtenues au 3. (unités : 10 cm par axe).  a ln 1 +b ln 1 ≤ln 2  a b Soientetdeux réels > 0, tels que+= 1. 1. Montrer quealn a 1 +bln b 1 ≤ln 2. 2. Pour quelles valeurs deetcette inégalité estAelle une égalité ? Partie B On se propose dans cette partie de généraliser l’inégalité obtenue à la partie A. Soitentier strictement supérieur à 1 et soientun  1 , 2 , 3 ,…  des nombres réels strictement positifs N poseH N = N ∑ a i ln    1    . tels que ∑ a i =a 1 +a 2 +...+a N =1. On = a i i=1i1 1. Soitla fonction définie, pour tout réelstrictement positif, parh(t)=ln(t)−t+1. a. Calculer’() la dérivée deet dresser le tableau de variation de. b. Montrer que, pour tout réelstrictement positif,lnt≤t−1. c. Pour quelle valeur 0 deaAtAon l’égalitélnt=t−1? 2. Soit un entier compris entre 1 et. Déduire de la question précédente les réels  , en fonction des réels  , tels que l’on ait l’inégalité suivante :a i ln    N 1 a i    ≤ 1 N −b i . N   3. a. Justifier l’inégalité : ∑ a i ln   1   ≤0. 1 N a i i=

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b. Montrer que l’on a : ∑ N a i ln  1  ≤H N −lnN. i=1   N a i   c. En déduire une inégalité entreH N = N a i ln 1   . i= ∑ 1    a i   et ln

    

Partie I On lance un dé parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par X la varaible aléatoire indiquant le numéro apparaissant sur la face supérieure. Soitun entier compris entre 1 et 6. On noteraX≤nl’événement « le numéro apparaissant sur le dé est inférieur ou égal à», de même pourX>nouX≥n, etc. 1. a. Donner la loi de probabilité de X. b. Calculerp(X≤2),p(X> 2)etp(X≥2). 2. Soitun entier quelconque compris entre 1 et 6. a. Déterminer en fonction dela probabilitép ( X≤n ) . b. Déterminer en fonction dela probabilitép ( X>n ) . c. Déterminer en fonction dela probabilitép ( X≥n ) . 3. On considère la variable aléatoire Z définie par Z = 7 − X. a. Quel est l’ensemble des valeurs prises par Z ? b. Calculerp ( Z≤2 ) . c. Déterminer en fonction dela probabilitép ( Z≤n ) . Partie II On lance de façon indépendante deux dés, parfaitement équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par X et Y les variables aléatoires représentant les numéros apparaissant respectivement sur chaque dé. Soit Max(X, Y) la variable aléatoire représentant le plus grand des deux nombres figurant sur les dés. Si les deux dés affichent le même nombre, Max(X, Y) prend pour valeur ce nombre. 1. Sachant queY=3, calculer la probabilité p1 de l’événement Y)M ax(X,≥4. 2. Soitun entier quelconque compris entre 1 et 6. a. Calculer en fonction dela probabilitép ( X≤n∩Y≤n ) .

b. en déduire en fonction dela probabilitép (  Y)M ax(X,≤n ) . c. En utilisant la formulep ( M ax(X, Y)=n) =p (  Y)M ax(X,≤n) −p ( M ax(X, Y)≤n−1 ) , calculer en fonction dela probabilitép (  Y)M ax(X,=n ) . Partie III On lance de façon indépendante,dés parfaitement équilibrés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 1. Donner en fonction de, la probabilité   tous les nombres apparaissant sur les faces des dés que soient inférieurs ou égaux à 5. 2. Donner en fonction de, la probabilité  d’obtenir au moins un 6 parmi lesdés lancés. 3. Calculer la limite de  quandtend vers+∞. Justifier ce calcul.

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       On considère la fonction du plan complexe dans luiAmême qui, à tout point d’affixe, fait correspondre le point’ d’affixe’ définie par : ' 2z z=. 1+zz Partie I   1. Soient les pointsd’affixe=,d’affixe= 2 −et C d’affixec= 2− 5 i . On note’,’ et’ les affixes des images parde,et. Calculer’,’ et’ sous forme algébrique. 2. Soit un complexe non nul. On considère le point d’affixeZ= z 2 . Calculer en fonction de  z l’affixe’ de l’image’ depar. Que peutAon dire des points’ et’. 3. On appelle point invariant par point toutqui est sa propre image par plan  du, c’estAàAdire vérifiant() =, soit=. ’ a. Déterminer les complexes qui vérifient’ =. b. En déduire l’ensemble des points invariants par. Partie II   Soit le complexe z=x+iy oùetsont réels. 1. Donner la partie réelleet la partie imaginairede’ en fonction deet. 2. a. Vérifier que l’ensemble E des pointsdont l’image’ para pour abscisseX= 5 1 est un cercle dont on donnera le centreet le rayon 1 . b. Vérifier que l’ensembledes pointsdont l’image’ para pour ordonnéeY= 2 5 est un cercle dont on donnera le centre et le rayon 2 . r l’ensemble H d sdu affixe ' 1+2i . z= c. Détermine es point plan dont l’image’ para pour 5 Partie III

Soit le complexe non nulz=re i θ oùest le module deet θ un argument de. 1. Donner, en fonction deet θ , le module et un argument de’. 2. Montrer que les points
,,’ sont alignés. 3. Montrer que, pour tout pointdu plan, son image’ vérifieOM'≤1. 4. Quelle est l’image pardu cercle C 1 de centre
et de rayon 2 ?  

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