Mathématiques 2003 Classe Prepa BCPST Ecole Normale Supérieure (ULM)

Description

Examen du Supérieur Ecole Normale Supérieure (ULM). Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2003

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 mars 2007
• Nombre de lectures: 80
• Langue: Français

Extrait

ULC 335

J. 5025

SESSION 2003

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan

Durée : 4 heures

L’usage de toute calculatrice est interdit.

Tournez la page S.V.P.

¾

D´finitions et notations e

Ò× ØÓÙØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÒÓÙ× ÙØ Ð × ÖÓÒ× Ð × ÒÓØ Ø ÓÒ× ×Ù Ú ÒØ × ¯ Æ Ö ÔÖ × ÒØ Ð³ Ò× Ñ Ð × ÒØ Ö× Ò ØÙÖ Ð× Ø ÓÒ ÒÓØ Æ £ Æ Ò ¼ ¸ Ò× Ñ Ð × ÒØ Ö× Ò ØÙÖ Ð× ÒÓÒ ÒÙÐ× Ê ×Ø Ð³ Ò× Ñ Ð × ÒÓÑ Ö × Ö Ð׸ Ê£· г Ò× Ñ Ð × Ö Ð× ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ×º ¯ Ë ×Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö ¸ ÓÒ ÒÓØ Ö ´ µ ×ÓÒ ×Ô Ö Ò ¸ δ µ × Ú Ö Ò Ø ´ µ δ µ ×ÓÒ ÖعØÝÔ º ¯ Ë Á ×Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ê Ø× ×Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ò ×ÙÖ Á Ø Ú Ð ÙÖ× Ò× Ê¸ ÓÒ Ø ÕÙ ×Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ convexe × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ ×

Ô

´Ü ݵ ¾ Á¾

¾

¼½

  Ü · ´½   µÝ¡

´Üµ · ´½   µ ´Ýµ

ÇÒ Ø ÕÙ³ ÐÐ ×Ø strictement convexe × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × Ð³ Ò Ð Ø ¹ ××Ù× ×Ø ×ØÖ Ø × ÕÙ Ü Ýº ¯ ÇÒ Ø ÕÙ ×Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ concave ´Ö ×Ôº strictement concaveµ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ ×   ×Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ü ´Ö ×Ôº ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒÚ Ü µº Ä × ÔÖÓÔÖ Ø × ÙØ Ð × × ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÒÚ Ü × ×ÓÒØ Ø Ð × Ð ÕÙ ×Ø ÓÒ ¿ Ð Ô ÖØ ºÄ × Ò Ø× ÙÖÓÒØ ÒØ Ö Ø Ð Ö × ÕÙ ×Ø ÓÒ׸ ÕÙ ØØ Ñ ØØÖ Ð × Ö ×ÙÐØ Ø× Ñ Ò × × ×Ó Ò ×ظ Ú ÒØ ³ ÓÖ Ö Ð ×Ù Ø Ù ×٠غ ÙØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø ÑÓ Ð × Ö × ×ØÖ Ø × ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ø ÐÐ Ò Ñ × Ö Ò º Ä Ô Ý× ÕÙ ×Ø Ø ×Ø ÕÙ ¸ ÔÔÐ ÕÙ × ÔÖÓ Ð Ñ × ³ ÚÓÐÙØ ÓÒ¸ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð ×Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ ÜÔÐ ÕÙ Ö ÓÑÑ ÒØ × ÒØ Ö Ø× Ú Ö ÒØ× ´×Ó Ø ÒØÖ Ò Ú Ù× ³ÙÒ Ñ Ñ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ¸ ×Ó Ø ÒØÖ ÓÖØ ×ÙÖÚ Ø ÓÖØ Ö ÔÖÓ Ù Ø ÓÒµ¸ Ò ×³ÓÔ¹ ÔÓ× Òظ Ô ÙÚ ÒØ ÓÒ Ù Ö × × ØÙ Ø ÓÒ× ³ ÕÙ Ð Ö º ÆÓÙ× ØÙ ÓÒ× ÙÒ × ÓÖÑ Ð ×Ñ × ÕÙ ÓÒØ Ø Ú ÐÓÔÔ × ÔÓÙÖ Ô ÖÑ ØØÖ Ø ÐÐ × Ø٠׺ Ä × Ô ÖØ × Ø ×ÓÒظ Ò× ÙÒ ØÖ × Ð Ö Ñ ×ÙÖ ¸ Ò Ô Ò ÒØ × Ð Ô ÖØ ÔÖ × ÒØ × Ö ×ÙÐØ Ø× Ò Ö ÙÜ ×ÙÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ³ ÒØÖÓÔ Ø Ð Ô ÖØ ×ÙÖ Ð × ÔÖÓ ××Ù× Ö Ò Ñ Òغ Ä × Ô ÖØ × Ø ÔÖ × ÒØ ÒØ × Ü ÑÔÐ × ³ÙØ Ð × Ø ÓÒ × ÓÙØ Ð× Ò× × ÑÓ Ð × ÓÐÓ ÕÙ × ÚÓÐÙØ × ÓÜ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ò Ú Ù Ð× Ø ÓÐÐ Ø ×º Ä Ô ÖØ ÙØ Ð × Ð × Ö ×ÙÐØ Ø× × ÙÜ ÙØÖ × Ô ÖØ ×º Ä Ô ÖØ ÙØ Ð × ÕÙ ÐÕÙ × Ö ×ÙÐØ Ø× ÔÖ × ÒØ × Ò× Ð Ô ÖØ ¸ Ñ × Ò Ö ×Ø ØÖ × Ð Ö Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ º Ä

¿

Partie A
ÆÓÙ× ÓÒ× ÖÓÒ× ÓÒ ÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ¸ Ø ÐÐ Ò Ñ × Ö Ò º Ä ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ × e ÕÙ Ò Ú Ù Ó Ø¹ Ò Ú Ù× ³ÙÒ ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ × Ö ÑÓ Ð × Ô Ö ÙÒ strat´gie ´ØÝÔ ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ò Ò Ö Ö ÙÒ × Ò Ò ÚÖ Ú ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ÙÒ ÓÖÑ ¸ ÓÙ ÕÙ Ð ÓÒÕÙ ¸ ÓÙ Ò Ó Ø¹ Ð Ñ × Ö ÕÙ ×ÙÖ ÙÒ × Ò Ò ³ÙÒ ØÝÔ ÓÒÒ µº ÕÙ Ò Ú Ù Ô ÙØ ÓÔØ Ö ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ð³ Ò× Ñ Ð × ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ× ×Ø ÙÒ Ò× Ñ Ð Ò ÒÓØ ª ܽ Ü ÕÙ ÒÓÙ× ÑÔÓÖØ Ò³ ×Ø Ô ÓÒ× Ö Ö ×ÓÒ Ò Ö ÕÙ³ × ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒº Ä Ð Ò ØØ ×ØÖ Ø ×ØÖ Ø º ÇÒ ÒÓØ Ö ³´Ü µ Ð fonction de gainº ÇÒ ×ÙÔÔÓ× ÇÒ ÔÓ× Ö ÇÒ ÒÓØ × Ø ÒØ Ð ×ØÖ Ø Ù ÒÚ Ù ÔÖÓÔÖ ×ÙÖÚ × Ò× × ×ÓÙ Ö Ð³ Ò Ú Ù ´ÕÙ ØÓÙØ ÒØ Ö Ø × Ò Ò µ ÕÙ³ Ù Ò Ú Ù Ò Ð

ØØ × ×ÓÐ Ô Ö ÙÒ gain¸ ÕÙ ØÖ Ù Ø Ð³ ÔØ Ø ÓÒ ÖÛ Ò ÒÒ Ò ××Ó Ù Ó Ü Ü º Ä ÓÒ Ø ÓÒ ³ Ò× Ò ×Ø ÔÔ Ð ÕÙ