Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 316
• Langue: Français

Extrait

MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004

PREMIER EXERCICE Onconside`rel’applicationf:R→R,eopfieintud´ruott∈Rpar : t 2e f(t) = √ 2 1 +t 1. Dresserle tableau de variation defsurRcomprenant les limites defen−∞et en +∞. √ ´ t2 2 2. a)Etablir, pour toutt∈[0,+∞[ :2e−t−t >1 +0 ett≥1 +t b)End´eduire: ∀t∈[0,+∞[, f(t)> t 3.Onconside`relasuitere´elle(u n eiapr)d´efinu 0 = 1 et, pour toutn∈N: n≥0 u n+1 =f(u n ) ´ a) Etablirqueu n tend vers +∞lorsquentend vers +∞. 6 ´ b) Ecrireun programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entierntel queu n >10 4.Onconside`rel’applicationG:R→Rtrtou,pounfieide´x∈Rpar : Z +x G(x) =f(t)dt −x a) MontrerqueGest impaire. 10 b) MontrerqueGest de classeCsurRet calculerG(x) pour toutx∈R. c) Quelleest la limite deG(x) lorsquextend vers +∞? ´ d) Etudierle sens de variation deGet dresser le tableau de variation deGsurRcomprenant les limites deGen−∞et en +∞. ` DEUXIEME EXERCICE On noteM 3 (Rse’drre´teorrordesmaeeldescatriccevecaps´rleirot’e)lslee,`aisl´´eenemr´tsIla matrice identit´edeM 3 (R),0 la matrice nulle deM 3 (R). Onconside`re,pourtoutematriceAdeM 3 (R), les ensemblesE 1 (A) etE 2 (A) suivants : E 1 (A) ={M∈ M 3 (R) ;A M=M}   2 E 2 (A) =M∈ M 3 (R) ;A M=AM Partie I 1. MontrerqueE 1 (A) est un sous-espace vectoriel deM 3 (R) On admettra queE 2 (A) est aussi un sous-espace vectoriel deM 3 (R) ´ 2. a)Etablir :E 1 (A)⊂E 2 (A) b) Montrerque, siAest inversible, alorsE 1 (A) =E 2 (A) EML-2004-e Page1/ 3

´ 3. a)Etablir que, siA−Iest inversible, alorsE 1 (A) ={0}   −01 1   b) Unexemple :SoitB = 0−1 1 .eDrnimrete´E 1 (B) etE 2 (B) 0 02 Partie II   3−2−1   Onconside`relamatriceC = 1 0−1 2−2 0 1. Calculerles valeurs propres et les sous-espaces propres deC. 2.End´eduireunematricediagonaleD, dont les termes diagonaux sont dans l’ordre croissant, et une −1 matrice inversibleP´el´tlestsdeemenme`ialrpgienrelentsoga´e`auxte1,selleuqnod,C=PP D. −1 3. SoitM∈ M 3 (Rnote). OnN=P M. Montrer :M∈E 1 (C)⇐⇒N∈E 1 (D).   0 0 0   4. MontrerqueN∈E 1 (Dlumetees)isetroxist’ileents´rsisleea, b, ctels queN= a b c . 0 0 0 5.End´eduirel’expressiong´en´eraledesmatricesdeE 1 (Cte´dtere)ednemidoisnsebalaetnemineru E 1 (C). 6.Donnerl’expressionge´n´eraledesmatricesdeE 2 (Condebesaeeltdamineisnurenimrete´dte)E 2 (C). Est-ce queE 1 (C) =E 2 (C) ? ` TROISIEME EXERCICE Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes. •La proportion de boules blanches estb. •La proportion de boules rouges estr. •La proportion de boules vertes estv. Ainsi, on a.:0< b < l,0< r < l,0< v <1 avecb+r+v= 1. Oneffectuedestiragessuccessifsavecremiseetons’arrˆeteaupremierchangementdecouleur. Pour tout entier natureliostuep´,onnulr`oaule´reigeaB i (respectivementR i ;V i al”tneemenv´´el’) iluobeme`-teer)”ou,r;vgeitevemtn(eerpscestblanchetir´eee On noteXairaaelbvale´utceffe.sbredunomagesetirotri´laelaae´ege Parexemple,lorsquelere´sultatdestiragesestV 1 , V 2 , B 3 e,lavairaaelbae´lriotXprend la valeur 3. Partie I 1.Pr´eciserlesvaleurspossiblesdeX. k−1k−1k−1 2. Montrer:∀k∈N− {0,1}, P(X=k) = (1−b)b+ (1−r)r+ (1−v)v 3.Montrerquelavariableal´eatoireXemda´pseenutetceanere:qu 1 1 1 E(X) =+ +−2 1−b1−r1−v

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Partie II 2 Onconside`relafonctionfde classeCsur ]0,1[×]0,niefiarep:[1´d 1 1 1 ∀(x, y)∈]0,1[×]0,1[, f(x, y+ +) = 1−x1−y x+y ∂f ∂f 1. Calculer,pour tout (x, y)∈]0,1[×]0,1[,(x, y) et(x, y). ∂x ∂y 2. Montrerqu’il existe un unique pointIde ]0,1[×]0,1[ en lequelfunereds´osepedlbitpecsustse extremumlocaletde´terminerI. 3. Montrerquefadmet enIun minimum local. 4. a)ExprimerE(X) en fonction def(b, r). 1 b) Quepeut-on dire deE(X) lorsqueb=r=v= ? 3 Partie III Z +∞ 1 1.Montrerquel’int´egraledtnteeergeconvestavasrenimrete´dt.urle t 2 3 t tln(3) On rappelle que 3=e. Z +∞ 1 On noteα=dtere`ofalocnodisnettincongfin´ersuiedRpar : t 3 2 ( g(t) = 0sit∈]−∞; 2[ 1 g(t) =sit∈[2; +∞[ t α3 2.Ve´rifierquegnsit´edeprobabiltie´.edenutse On noteYiaareableal´irtomdaeattetnnuveg.ec´tisenmemdo 3. MontrerqueYesnetumead.erancsp´etteeerceclluteacnaec´pre 4. OnnoteZtoeae´irblial´ealravaenti`eredparaiteegela`elaYere`itnenu’dueeqllpeiertpala.Onrap nombrere´elxieerouurga´eal`dnnegsarni´fitreepluestlx. a)De´terminerlaloideprobabilite´deZ. 1 b)Comparerlaloideprobabilit´edeXlorsqueb=r=vbibat´lieed=altediolorpeZ. 3 -FIN -

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