Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 1 012
• Langue: Français

Extrait

EML 2004, math 1, option scientifique

PROBLEME 1

Z +∞ sint Partie I :Etude de la fonctionx−→7xdt t+x 0 On noteF:]0; +∞[−→RetG:]0; +∞[−→R,sopruotdse´nfieiutr´eelppaselnoitacilx∈]0; +∞[ par : Z Z x x sinucosu F(x) =duetG(xd) =u u u 1 1 Z x cosxcosu 1)a)rep,nortM´eeloutrourtx∈]0; +∞[ :F(x) =−+ cos 1−du. 2 x u 1 Ende´duirequeFadmet une limite finie en +∞. On noteαcette limite. b)uqrertnoeanre`eni,mueogaleDamGadmet une limite finie en +∞. On noteβcette limite. Z Z +∞+∞ sinucosu c)uttoeer´e,quurpode´deriulnEx∈]0; +∞´egrales,[elistnduet du u u x x Z Z +∞+∞ sinucosu convergent, et que :du=α−F(xd) etu=β−G(x). u u x x 2)a)lMontopruer,r´reeottux∈]0; +∞lee´troutt[eT∈]0; +∞[ : Z ZZ T x+T x+T sintsinucosu dt= cosxdu−sinxdu t+ux u 0x x Z +∞ sint b)e´leunodrtEude´qerip,eutruox∈]0; +∞[degralnt´e,l’itconverge et que : t+x 0 Z ZZ +∞+∞+∞ sintsinucosu dt= cosxdu−sinxdu t+ux u 0x x

On noteA:]0; +∞[7−→Ree´rtuotlepfipd’´aconaltiiurpoe,lnix∈]0; +∞[, par : Z +∞ sint A(xd) =t t+x 0 2 3)Montrer que l’applicationAest de classeCsur ]0;+∞ruottu´reel[etque,pox∈]0; +∞[ : 1 00 A(x) +A(x) = x ´ 0 4)Etablir queA(x) etA(x) tendent vers 0 lorsquextend vers +∞. Z 1 cosu 5)a)Montrer :∀x∈]0; 1],06du6−lnx u x Z +∞ cosu b)irequesinEnd´eduxdutend vers 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement u x positives. Z Z +∞+∞ sinusinu c)rerqMontdelgearni´teu’lurgveonceuqrilbate´te,eA(x) tend versdu u u 0 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives.

Z +∞ − xt e Partie II :Etude de la fonctionx7→−dt 2 1 +t 0 k−xt 1)ntMorqrep,eutruortuolee´x∈]0; +∞[ et tout entier naturelk, l’applicationt→−7te Z +∞ k−xt te estborne´esur[0;+∞´ddetene,[´egr’intqueluireeladtconverge. 2 1 +t 0 On note, pour tout entier naturelk,B k :]0; +∞[−→Reip,uotroidne´nfiapplicatl’trouel´e Z +∞ k−xt te x∈]0,+∞[, par :B k (x) =dt. 2 1 +t 0 2)a)lisinetuer,roMtnroL-gaargn:elyaTede´tilage´n’ielplemexartpan 2 u u|u| ∀u∈R,|e−1−u|6e 2 b)tourr´utleeEe´dnriudop,ex∈]0; +∞[, pour tout entier naturelkpouretee´rtuotlhtel que x 0<|h|6: 2   B k (x+h)−B k (x)|h|x +B k+1 (x)6B k+2  h2 2 c)Montrer que, pour tout entier naturelk,B k ´etdes+;0]ruselbavir∞[ et que : 0 ∀x∈]0; +∞[, B k (x) =−B k+1 (x) 2 d)dnEude´qerieuB 0 est de classeCsur ]0;+∞[teuq,eoprutoutr´eelx∈]0; +∞[ : 1 00 B(x) +B 0 (x) = 0 x 3)´reeottulntMourpor,rex∈]0; +∞[ : 1 1 0 06B 0 (x)6et 06−B 0 (x)6 2 x x 0 etende´duireleslimitesdeB 0 (x) etB(x) lorsquextend vers +∞. 0 Z √ Z 1 +∞ √ x 1 1 −x 4)a)Montrer :∀x∈]0; +∞[,e dt6B 0 (x)6dt. 2 2 1 +t1 +t 0 0 h h π b)´ueJelrep,tsfiiuortuotry∈0; : 2 Z Z ytany 1 du= dt , 2 1 +t 0 0 Z +∞ 1π etend´eduire:dt= . 2 1 +t2 0 c)nd´eduirelalimitedeEB 0 (x) lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives. Z +∞ sinu PartieIII:Calculdel’int´egraledu u 0 Onconside`rel’applicationϕ:]0; +∞[−→Rfinie,poud´eletruorte´x∈]0; +∞[, par : ϕ(x) =A(x)−B 0 (x), o`uAnfieidee´alaPadsnrtiet´´eaIetB 0 nfie´adeialsntraPiet´eda´eII. On noteU:]0; +∞[−→R’lpalpcitaiond´efinie,pourtuorte´lex∈]0; +∞[, par :   2   2 0 U(x) =ϕ(x) +ϕ(x) 1)Montrer queU+est constante sur ]0;∞[. 2)Quelle est la limite deU(x) lorsque x tend vers +∞? 3)d´ueinrde:E∀x∈]0; +∞[, A(x) =B 0 (x). Z +∞ sinu 4)Quelle est la valeur dedu? u 0

2

PROBLEME 2

Danstoutleproble`me,neugnsi´ernientned2a.uoe´ag`lp´erieuraturelsu M n (Rrracsee´rtamseciblemesedtlesns’e)dred’orllesr´eenetM n,1 (R) l’ensemble des matrices colonnesre´ellesa`nlignes. Une matriceMdeM n (R) ou deM n,1 (R) est dite positive si et seulement si tous les coefficients deMsont positifs ou nuls. On notera alorsM>0. Une matriceMdeM n (R) ou deM n,1 (R) est dite strictement positive si et seulement si tous les coefficients deMsont strictement positifs. On notera alorsM >0. SiMetNsont deux matrices de ou deux matrices deM n (R) ou deM n,1 (R) , la notationM>N (respectivementM >N) signifie queM−N>0 (respectivementM−N >0 ). Une matriceMdeM n (Rviseudtcpeordtti)esxuedselefiire´velelsintmeleeutsiensconditio suivantes :Mest positive et il existe une matrice positivePdeM n,1 (R) telle queP−>M P0. Partie I :Etude d’exemples    1 01 1 1    1)id´econsnErantUmontrer que la matrice= 1 ,Aest productive.0 1= 1 3 1 11 0   1 4 1   2)Montrer que la matriceB= 2n’est pas productive.1 3 0 0 1 PartieII:Caracte´risationdesmatricespositives SoitMune matrice deM n (R). 1)Montrer que, siMest positive, alors, pour toute matrice positiveXdeM n,1 (R), le produit M Xest positif. 2)poceriatemuttourop,is,euqrertnoment,quemiproR´ecsitiveXdeM n,1 (R), le produit M Xest positif, alors la matriceMest positive. PartieIII:Caracte´risationdesmatricesproductives 1)SoitAune matrice productive deM n (R) dont le coefficient de lai`-melegineetdelaj-`eme colonneestnote´a ij , etPune matrice positive deM n,1 (R) telles queP−AP >0. On note p 1 , . . . , p n les coefficients de la matrice colonneP. a)Montrer queP >0. b)SoitXapa`tanenrtpaM n,1 (R) telle queX>AX. On notex 1 , . . . , x n les coefficients de x j la matrice colonneXsignnd´e.Orapecitreqseu’lneorlsel´esrdetitepsulpeljde´crit p j x k l’ensemble{1, . . . , n}etkun indice tel quec= . p k   n X Etablir quec p k −a kj p j >nE´d.0qureuiedec>0 et queXest positive. j=1 c)SoitXa`appartenantM n,1 (R) telle queX=AX. En remarquant que−X>A(−X), montrer queXlluntseequreuiedd´Ene.I n −Abielevsrtsnie,o`uI n e´tdiecitneatritlames deM n (R). −1 d)Montrer que, pour toute matrice positiveXdeM n,1 (R), la matriceY= (I n −A)Xest positive (on pourra utiliserIII.l.b). −1 Ende´duireque(I n −A) estpositive. 2)trmaepicitoseivDanscettequestiono,cnnois`dreueenBdeM n (R) telle queI n −Bsoit −1−1 inversible et telle que (I n −Bpositive. On note) soitV= (I n −B)Uu,o`Uest la 3