Mathématiques 2004 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 25 juillet 2008
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

Concoursd’entr´eeFESIC2004

EXERCICE 1 −→−→ Leplancomplexeestrapporte´aurepe`reorthonormal(O, u, v). Onconsid`erelespointsA,B,CetDd’affixesrespectivesa, b, cetd:

a=−2−2i ;b;= 2c= 2 + 4i;d=−2 + 2i. a..maemolrglle´unstrapaADeBC π b.Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle−, est 2 un point de l’axe des abscisses. c.Soientf= 6i−4 et F le point d’affixef. LetriangleCDFestrectangleetisoc`eleenD. d.Soientg=−2i et G le point d’affixeg. LetriangleCDGestrectangleetisoce`leenD. EXERCICE 2 −→−→ Leplancomplexeestrapporte´aurep`ereorthonormal(O, u, v). 5 a.´(e1e+l2tlieedresatp4a1ri)Le. b.inpoisrocoelqutsB,AseuqnalpudCtend’affixescnnoOreteis`d respectivesa, betc. L’e´criture(b−c) = i(a−crac)´tcasireenueceneitdehte´ohometdetreC rapport i. 20 c.e´rtse)i+1(.el 4 d.ontiuaeq’´Lz−snacnitdsetsse`eduq10=optionsdisatresoluC. EXERCICE 3 −→−→ Leplancomplexeestrapport´eaurepe`reorthonormal(O, u, v). Soient A le point d’affixea= 1−i et B le point d’affixeb= 2i−3.  ` A tout pointMd’affixez, z=b, on associe le pointMd’affixe

z−1 + i Z=. z+ 3−2i a.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queZtseleengmee´rtseltios [AB]. b.Pour toutzdffie´erntde−et de3 + 2i−3−2i, on obtient la forme (z−1 + i)(z+ 3 + 2i alge´briquedeZ: ).par le calcul (z+ 3−2i)(z+ 3 + 2i  c.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queMsoit un point de l’axe   2 1 25 2 desordonn´eesestlecercled’´equation(x+ 1)+y−= ,sauf le point 2 4 B. z−1 + i d.Soitz 0 ulutinesotle’i´seeonndcenoitauqna(o=iexl’etdm z+ 3−2i d’une telle solution).

Concours FESIC 2004

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Le point M 0 d’affixez 0 ].ABestunpointdeal´mdeairtcide[e EXERCICE 4 Soitfurniescnofalfie´dnoitRpar :  x e,six <0 f(x) = cosx,six0 On appelleC f asΓatntngioprrese´eadsnnuerarhpqieulan.Soitp`eredup x larepre´sentationgraphiquedelafonctionexponentielle(x→−e ) dans le meˆmerep`ere. a.niopxuatcsba’dstrrcoanplanndpoeslspaDnanoudroitissesn´egatives, C f esxadets’liree´mtedelaltnoexa’ysedlaarm´syrietxieaselti’amegedpΓ abscisses. b.fest continue en 0. c.fenleabiverd´ste.0 d.uqtaoin’Le´f(xteinalrvdaonl’nsoselitulnuteueses`edeulnee)=0pos ]− ∞;π]. EXERCICE 5 Ondonneci-dessouslarepr´esentationgraphiquedetroiscourbesC 1 ,C 2 etC 3 sertuaxuedsel,nontsosestlarepr´esenttaoidnu’enofcnitu’L.’denelle lesrepre´sentationsdedeuxdesesprimitives.Onnote: •f 1 nofaoitcrlt´enpaeeepnresr´C 1 ; •f 2 fanotcoilent´eeparnrepr´esC 2 ; •f 3 ne´teeaprnpe´rseafonctiorlC 3 ; 4

3

2

1

0 C 3 3 2 1 01 2 1 C 2 2

3 C 1 4

a.f 1 deetiviprimtuneesf 2 . b.f 3 sedeeev´ri´eadtlf 1 .

5

Concours FESIC 2004

3

c.Od`sionncebruelimit´eeparlacorelesaruafeclpnaC 3 , l’axe des abs- cisses,l’axedesordonn´eesetladroited’e´quationx=−,enuaire1.L’sein´t d’aire, de cette surface estf 2 (−1). d.Soitx∈R. SoientM 1 le point deC 1 d’abscissexetM 2 le point deC 2 demeˆmeabscisse. La distanceM 1 M 2 est constante. EXERCICE 6 Ondonneci-dessouslarepr´esentationgraphiquededeuxcourbesC 1 et C 2 . • C 1 errpe´estnueenfonctionfselbrud´erivaR;  • C 2 r´rpeeneslatencfoontife´ird,ed´veef.   On appellef´dnoitcnsee´virededeoneclafoft-esc’,ad´eriv´`a-direleeedf. 4

3

2

1

C 1

0 1 01 2 3 4 5 6 C 2 1

2 a.Toute primitive defest croissante sur [-1; 6].  b.lanttaenesr´eperuobrLcanoitcnoffnndoes´eelsrsaapipopeedtnrooc (0 ;0).  c.La fonctionfs’annule trois fois sur [−1 ;6]. d.rbeacouilimalenaplr´teelare`eidepacrfsusnocnOC 2 , l’axe des abs- cisses,l’axedesordonn´eesetladroited’´equationx= 1. L’airedecettesurfaceeste´galea`celled’uncarr´eunit´e. EXERCICE 7 a.Soitfloifdannotceiuse´nfirR + ∗par : f(x) =x[sin(lnx)−cos(lnx)].   Lade´riv´eefdefseltfanotcoidn´efiniesurR∗par :f(x) = 2sin(lnx).      b.2+ 2 ln3 +7 ln2 + 1−22 +7 lnln 11+ 6−0.1 =  π 1 4 c.tanxdx2.= ln 0 2  e lnx d.= 4−2 edx. 1 x EXERCICE 8

Concours FESIC 2004

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Soientfetg´dfieinsenotcoisnvementsurespectirsfleRpar :  2 x 1 f(x) =etg(x) =f(t) dt. 2 1 +x x a.L’image deRparfest ]0 ;1]. 2 b.Pour toutx∈R,0g(x)x−x. c.`ereduplanetpourDpernusnax 0 ∈R, g(x 0 ntse’aeledirael)errpe´ surfaceplanelimite´eparlacourberepr´esentativedef, l’axe des abscisses et 2 lesdroitesd’e´quationx=x 0 etx=x. 0 2 d.gtdesri´eavlbseruRet, pour toutx∈R, g(x) =f(x)−f(x).

EXERCICE 9 Soientl∈Ret (u n .sfictrmeteponttisitarell`euossemtsunes)r´eeuite n∈N Pour les itemsa.,b.etc., on suppose que (u n ) convergeversl. n∈N a.lest strictement positif. −3 b.Il existen∈Ntel quelstuoivaneparpelrueeedco´hu n 10`as.pr`e c.La suite (lnu n converge vers ln) ,l. n∈N d.On suppose dans cette question que la suite (u n )ruv´fiireop,en∈ n∈N N:u n+1 = lnu n et queu 0 > u 1 . On ne suppose pas que la suite (u n ) converge. n∈N La suite (u n )dtserce´ssoitean. n∈N

EXERCICE 10 Onconsid`erelasuitecomplexe(z n e´d):rapeinfiz 0 = 1 et, pour tout n∈N 1 + i n∈N, z n+1 =z n . 2 Pourn∈N, on appelleM n le point d’affixez n dans le plan complexe d’origine O. 1 a.La suite (|z n |.)om´eegitsunetuesnosiaredeuqirte´ n∈N 2 b.Quel que soitn∈N, les triangles OM n M n+1 sont rectangles. c.M n partapemtnisssseisscleeutsie’la`tneibasedexanest un multiple de 4. nπ i e 4 d.Pour toutn∈N, z n =   n . 2

EXERCICE 11 −→−→ Leplanestrapport´ea`unrepe`reorthonormal(O, ı, ). Onconside`re,danscerep`ere,lespointsA(1;−1), B(5; 3) et I milieu de [AB]. Soit (G n )edetliusa´dstnioparepniefi: n∈N •G 0 = O; •Pourn∈N, G n+1 me`teseltycenebarusystred{(G n ; 2); (A; 1); (B; 1)}. Pourn∈N, on appelle (x n ;y n esd)lescoordonn´eeG n . a.G 1 , G 2 et G 3 .se´ngilatnos b.Quel que soitn∈N, G n+1 est l’image deG n thmoti´earphol’ede centre I et de rapport 2.