Mathématiques 2004 Concours GEIPI

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 09 mars 2008
• Nombre de lectures: 110
• Langue: Français

Extrait

Lesujetcomporte15pagesnumeroteesde1a15 EXERCICE I - (12 points) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusci-dessous Partie A Ons’interessealaproductiond’unarbrefruitierdonne. Onsaitquelorsdel’annee 2000 ,l’arbreadonneunebonnerecolte. Pour tout entier n ∈ N , on note : -B n l’nt“l’arbredonneunebonnerecoltedurantl’annee 2000 + n ”, eveneme -M n l’ement“l’arbredonneunemauvaiserecoltedurantl’annee 2000 + n ”. even Silorsdel’annee 2000 + n l’arbredonneunebonnerecolte,l’anneesuivante,ildonneune 1 2 bonnerecolteaveclaprobabilite 3 etilendonneunemauvaiseaveclaprobabilite 3 . Siparcontrelorsdel’annee 2000 + n l’arbredonneunemauvaiserecolte,l’annee 2 suivante,ildonneunebonnerecolteaveclaprobabilite 3 et il en donne une mauvaise avec 1 laprobabilite 3 . I-A-1-On note P B ( A ) laprobabilitedel’evenement A sachantquel’evenement B estrelis a e. Donner, pour tout entier n ∈ N ,lesprobabilitesconditionnellessuivantes: P B n ( B n +1 ) , P M n ( B n +1 ) , P B n ( M n +1 ) , P M n ( M n +1 ) . I-A-2-Pour tout entier n ∈ N , on note p n laprobabilitedel’evenement B n et q n la probabilitedel’evenement M n ,c’estadire: p n = P ( B n ) et q n = P ( M n ) . I-A-2-a-Donner p 0 et q 0 . I-A-2-b-Donner pour tout entier n ∈ N , la valeur de p n + q n . I-A-3-a-Pour tout entier n ∈ N ,determinerlesprobabilites P ( B n +1 ∩ B n ) et P ( B n +1 ∩ M n ) en fonction de p n et de q n . REPONSES A L’EXERCICE I I-A-1-P B ( B n +1 )= 1 3 P M n ( B n +1 )= 3 2 n P B n ( M n +1 )= 2 3 P M n ( M n +1 )= 1 3 I-A-2-a-p 0 = 1 q 0 = 0

I-A-2-b p n + q n = 1

I-A-3-a-P ( B n +1 ∩ B n ) = P B n ( B n +1 ) × P ( B ) 1 n = 3 p n P ( B n +1 ∩ M n ) = P M n ( B n +1 ) × P ( M n )= 2 3 q n

CONCOURSG.E.I.P.I.0240 115

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EXERCICE I (Suite) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusalapage3

Partie A (suite) 1 2 I-A-3-b-Soit n ∈ N . Justier la relation : p n +1 = 3 p n + 3 q n . I-A-3-c-Pour tout entier n ∈ N ,determinerlesprobabilites P ( M n +1 ∩ B n ) et P ( M n +1 ∩ M n ) , en fonction de p n et de q n . Endeduire q n +1 en fonction de p n et de q n . I-A-4-On pose : u n = p n − q n , pour tout entier n ∈ N . I-A-4-a-On montre que la suite ( u n ) n ∈ N estunesuitegeometriquederaison b et de premier terme u 0 .Preciser b et u 0 . I-A-4-b-Pour tout entier n ∈ N , expliciter u n en fonction de n . I-A-5-a-Deduiredesquestions I-A-2-b-et I-A-4-, les expressions de p n et de q n en fonction de n . I-A-5-b-Calculer lim p n et lim + q n . n → + ∞ n → ∞

Partie B

L’exploitantagricolerealiseenvendantlarecoltedel’arbrefruitierconsidereenpremiere partie,unbenecequiestde: -200 eurossilarecolteestbonne, -10 euros si la r lte est mauvaise. eco Pour tout entier n ∈ N , on note G n lavariablealeatoirerepresentantlegaineneurosde  l’agriculteurpourcetarbrelorsdel’annee 2000 + n .

I-B-1-Completerletableaudonnantlaloide G n . I-B-2-Soit E ( G n ) l’esperancede G n . Justier que E ( G n ) = 105 + 95 µ − 1 3 ¶ n I-B-3-Quelle est la somme totale S desgainsquepeutespererobtenirl’agriculteur, pourlesdixpremieresanneesderecoltesurcetarbre,de 2000 a 2009 ? Donner la valeur exacte de S avecledetailducalcul,puisdonnerunevaleur approcheeauneuropres. I-B-4-Calculer n l → i + m ∞ E ( G n ) .Justierleresultat.

OCNCOURS.G.E.I.P.I0240

I-A-3-b- I-A-3-c-

I-A-4-a- I-A-4-b- I-A-5-a-

I-A-5-b- I-B-1-

I-B-2-

I-B-3-

I-B-4-

OCCNUOSR

REPONSES A L’EXERCICE I (Suite) 1 2 p n +1 = 3 p n + 3 q n car p n +1 = P ( B n +1 ) = P ( B n +1 ∩ B n ) + P ( B n +1 ∩ M n )= 3 1 p n + 3 2 q n P ( M n +1 ∩ B n ) = P B n ( M n +1 ) × P ( B n )= 2 3 p n P ( M n +1 ∩ M n ) = P M n ( M n +1 ) × P ( M n )= 3 1 q n 2 1 q n +1 = P ( M n +1 ∩ B n ) + P ( M n +1 ∩ M n ) =  3 p n + 3 q n Comme u n +1 = p n +1 − q n +1 = − 3 1 p n + 3 1 q n = − 1 3 ( p n − q ) = − 1 n u n 1 3 b = − 3 u 0 = p 0 − q 0 = 1 u n = u 0 b n = µ − 1 3 ¶ n n Comme p n + q n n = 1 et p n − q n = µ − 3 1 ¶ 1 2 µ 1 − µ − 1 3 ¶ n ¶ p n = 1 2 µ 1 + µ − 1 3 ¶ ¶ q n =

1 1 n = n l → i + m ∞ p 2 n l → im + ∞ q n = 2

x 200 10 P ( G n = x ) p n q n E ( G n ) = 105 + 95 µ − 1 3 ¶ n car E ( G n ) = 200 p n + 10 q n Donc E ( G n ) = 100 µ 1 + µ − 1 3 ¶ n ¶ + 5 µ 1 − µ − 1 3 ¶ n ¶ = 105 + 95 µ − 1 3 ¶ n .

S = E ( G 0 ) + E ( G 1 ) + ∙ ∙ ∙ + E ( G 9 ) = 105 × 10 + 95 " 1 + µ − 1 3 ¶ + µ − 1 3 ¶ 2 + ∙ ∙ ∙ + µ − 1 3 ¶ = 105 × 10 + 95  1 − 1 ¡ + − 3 1 1 3 ¢ 10 =1050+ 95 4 × 3 µ 1 − 3 1 1 0 9 # ¶ S ' 1121 ( n ) = 105  1 donc n l → i + m ∞ µ − 3 1 ¶ n = 0 lim E G car − < 1 n → + ∞ ¯ 3 ¯

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EXERCICE II - (10 points) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusalapage5

~ Onconsiderel’espacerapporteaunrepereorthonorme ( O,ı~,~,k ) . Onappellevecteurnormalaunplan P de l’espace tout vecteur directeur d’une droite or- thogonalea P . Soit le plan P 1 d’equation 2 x + 3 y − z = 0 et le plan P 2 passant par le point A (0 , 2 , 1) et de vecteur normal ~n 2 (4 , 2 , − 1) .

II-1-Determineruneequationduplan P 2 . II-2-a-Donner un vecteur ~n 1 normala P 1 . En utilisant les vecteurs ~n 1 et ~n 2 , justier que les plans P 1 et P 2 sontsecants. II-2-b-Determinerunpoint E et un vecteur directeur u~ de la droite D intersection de P 1 et de P 2 . II-3-Onconsidereleplan P d’equation: − 2 x + y = 0 . II-3-a-Donner un vecteur ~n normal au plan P . II-3-b-Montrer que D estparalleleauplan P . II-3-c-En utilisant les vecteurs n , n 1 et ~n 2 , justier que les plans P et P 1 sont ~ ~ secantsainsiquelesplans P et P 2 . II-4-a-Montrer que les points O et A 1 (1 , 2 , 8) appartiennent aux plans P et P 1 . II-4-b-Endeduireunsystemed’equationsparametriquesdeladroite D 1 , intersection des plans P et P 1 . II-5-a-Montrer que A 2 (0 , 0 , − 3) appartient aux plans P et P 2 . II-5-b-Soit le vecteur ~v (1 , 2 , 8) .Determinerlesproduitsscalaires v~.~n et v~.n 2 . ~ II-5-c-Donner un point et un vecteur directeur de D 2 , intersection entre les plans P et P 2 . II-5-d-Quelleproprieteverientlesdroites D 1 , D 2 et D ?Justierlareponse. II-6-Onconsiderelepoint M (2 , − 1 , − 1) . Ondesignepar H ( a, b, c ) la projection orthogonale du point M sur le plan P . −−→ II-6-a-Que peut on dire des vecteurs M H et ~n ? II-6-b-Quellesrelationsendeduirepourlescoordonnees a, b et c de H ? II-6-c-Determinerlescoordonnees a, b et c de H .

CONCOURSG.E.I.P.I.2004